文章目录
- Denavit-Hartenberg方法
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- [1.1 修正DH参数------定义关节i的轴为 z i z_i zi轴(最后一个坐标系{n}在关节n处）](#1.1 修正DH参数——定义关节i的轴为 z i z_i zi轴(最后一个坐标系{n}在关节n处）)
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- [1.1.1 连杆坐标系定义](#1.1.1 连杆坐标系定义)
- [1.1.2 连杆参数在连杆坐标系中的表示方法](#1.1.2 连杆参数在连杆坐标系中的表示方法)
- [1.1.3 建立连杆坐标系的步骤](#1.1.3 建立连杆坐标系的步骤)
- [1.1.4 连杆变换的推导](#1.1.4 连杆变换的推导)
- [1.2. 标准DH参数------定义关节i的轴为 z i − 1 z_{i-1} zi−1轴（最后一个坐标系{n}在连杆n的末端）](#1.2. 标准DH参数——定义关节i的轴为 z i − 1 z_{i-1} zi−1轴（最后一个坐标系{n}在连杆n的末端）)
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- [1.2.1 连杆坐标系定义](#1.2.1 连杆坐标系定义)
- [1.2.2 连杆参数在连杆坐标系中的表示方法](#1.2.2 连杆参数在连杆坐标系中的表示方法)
- [1.2.3 建立连杆坐标系的步骤](#1.2.3 建立连杆坐标系的步骤)
- [3.1.2.4 连杆变换的推导](#3.1.2.4 连杆变换的推导)
- [1.3 MDH和SDH两者对比](#1.3 MDH和SDH两者对比)
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- [1.3.1 平面3R机器人](#1.3.1 平面3R机器人)
Denavit-Hartenberg方法
1.1 修正DH参数------定义关节i的轴为 z i z_i zi轴(最后一个坐标系{n}在关节n处）
1.1.1 连杆坐标系定义
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(a) 运动链中间位置连杆坐标系{ i {i} i}的定义
固连在连杆i上的固连坐标系称为坐标系{ i i i}
O i O_i Oi原点：关节轴i和i+1的交点或关节轴i和i+1公垂线与关节轴i的交点
Z ^ i \hat{Z}_i Z^i轴：关节轴 i i i
X ^ i \hat{X}_i X^i轴：沿 Z ^ i \hat{Z}i Z^i和 Z ^ i + 1 \hat{Z}{i+1} Z^i+1的公垂线 a i a_i ai方向由关节 i i i指向关节 i + 1 i+1 i+1，当 a i = 0 a_i=0 ai=0时， X ^ i \hat{X}_i X^i垂直于 Z ^ i \hat{Z}i Z^i和 Z ^ i + 1 \hat{Z}{i+1} Z^i+1所在的平面
Y ^ i \hat{Y}_i Y^i轴：根据右手法则确定
α i \alpha_i αi：根据右手定则，绕 X ^ i \hat{X}i X^i轴从 Z ^ i − 1 \hat{Z}{i-1} Z^i−1到 Z ^ i \hat{Z}_i Z^i
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（b） 运动链首段连杆{ 0 0 0}坐标系的定义（ Z ^ 0 \hat{Z}_0 Z^0与 Z ^ 1 \hat{Z}_1 Z^1同向）
固连于机器人基座（即连杆0）上的坐标系为坐标系{0}，该坐标系可做参考坐标系。
设定 Z ^ 0 \hat{Z}_0 Z^0沿关节轴1的方向，当关节变量1（ d 1 d_1 d1或 θ 1 \theta_1 θ1）为0时，设定参考坐标系{0}与{1}重合。总有 a 0 = α 0 = 0 a_0=\alpha_0=0 a0=α0=0 ，当关节1为移动关节时， θ 1 = 0 \theta_1=0 θ1=0，当关节1为转动关节时， d 1 = 0 d_1=0 d1=0
（c） 运动链末端连杆{ n n n}坐标系的定义（ X ^ N \hat{X}N X^N和 X ^ N − 1 \hat{X}{N-1} X^N−1同向）
{n}坐标原点选取在 X ^ N − 1 \hat{X}_{N-1} X^N−1轴与关节轴n的交点位置，使得 d n = 0 d_n=0 dn=0，总有 a n = α n = 0 a_n=\alpha_n=0 an=αn=0
对于转动关节n，始终有 d n = 0 d_n=0 dn=0，当 θ n = 0 \theta_n=0 θn=0时，设定 X ^ N \hat{X}N X^N和 X ^ N − 1 \hat{X}{N-1} X^N−1同向，选取坐标原点位置为 X ^ N − 1 \hat{X}_{N-1} X^N−1轴与关节轴n的交点位置。
对于移动关节n，始终有 θ n = 0 \theta_n=0 θn=0，当 d n = 0 d_n=0 dn=0时，设定 X ^ N \hat{X}N X^N和 X ^ N − 1 \hat{X}{N-1} X^N−1同向，选取坐标原点位置为 X ^ N − 1 \hat{X}_{N-1} X^N−1轴与关节轴n的交点位置。
1.1.2 连杆参数在连杆坐标系中的表示方法
如果按照上述方法将两岸坐标系固定于连杆上时，连杆参数可以定义为
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a i − 1 a_{i-1} ai−1：沿 X ^ i − 1 \hat{X}{i-1} X^i−1轴，从 Z ^ i − 1 \hat{Z}{i-1} Z^i−1移动到 Z ^ i \hat{Z}_{i} Z^i的距离，通常取正值；
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α i − 1 \alpha_{i-1} αi−1：绕 X ^ i − 1 \hat{X}{i-1} X^i−1轴，从 Z ^ i − 1 \hat{Z}{i-1} Z^i−1旋转到 Z ^ i \hat{Z}_{i} Z^i的角度，采用右手法则判断正负；
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d i d_i di：沿 Z ^ i \hat{Z}{i} Z^i轴，从 X ^ i − 1 \hat{X}{i-1} X^i−1移动到 X ^ i \hat{X}_{i} X^i的距离；
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θ i \theta_i θi：绕 Z ^ i \hat{Z}{i} Z^i轴，从 X ^ i − 1 \hat{X}{i-1} X^i−1旋转到 X ^ i \hat{X}_{i} X^i的角度，采用右手法则判断正负；
1.1.3 建立连杆坐标系的步骤
现根据关节轴确定Z轴，再跟相邻关节轴之间的公垂线确定X轴。具体步骤如下：
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找出各关节轴， 并标出（或画出）这些轴线的延长线。 在下面的步骤2至步骤5中，仅考虑两个相邻的轴线（关节轴 i i i和 i + 1 i+1 i+1)；
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找出关节轴 i i i和 i + 1 i+1 i+1之间的公垂线 a i a_i ai或关节轴 i i i和 i + 1 i+1 i+1的交点， 以关节轴 i i i和 i + 1 i+1 i+1的交点或公垂线 a i a_i ai与关节轴 i i i的交点作为连杆坐标系{ i i i}的原点；
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规定 Z ^ i \hat{Z}_i Z^i轴沿关节轴i的指向；
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规定 X ^ i \hat{X}_i X^i轴沿公垂线 a i a_i ai的指向， 如果关节轴i和i+1相交， 则规定 X ^ i \hat{X}_i X^i轴垂直于关节轴i和i+1所在的平面；
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按照右手定则确定 Y ^ i \hat{Y}_i Y^i轴；
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当第一个关节变量为 0 时， 规定坐标系｛0｝和｛1｝重合。 对于坐标系｛N｝， 其原点和的 X ^ N \hat{X}_N X^N方向可以任意选取。 但是在选取时， 通常尽量使连杆参数为0。
1.1.4 连杆变换的推导
通过定义三个中间坐标系{P},{Q},{R}建立坐标系{i}相对于坐标系{i-1}的变换：
{i}沿 Z ^ i \hat{Z}_i Z^i平移 d i d_i di得到{P}，{P}绕 Z ^ P \hat{Z}_P Z^P旋转 θ i \theta_i θi得到{Q}，{Q}沿 X ^ Q \hat{X}Q X^Q平移 a i − 1 a{i-1} ai−1得到{R}，{R}绕 X ^ R \hat{X}R X^R旋转 α i − 1 \alpha{i-1} αi−1得到{i-1}
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其中，
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1.2. 标准DH参数------定义关节i的轴为 z i − 1 z_{i-1} zi−1轴（最后一个坐标系{n}在连杆n的末端）
1.2.1 连杆坐标系定义
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（a）运动链中间位置连杆坐标系{ i {i} i}的定义
Z ^ i \hat{Z}i Z^i轴：关节轴 i + 1 i+1 i+1
X ^ i \hat{X}i X^i轴：沿轴 z i − 1 z{i-1} zi−1和轴 z i z_i zi的公垂线 a i a_i ai方向由关节 i i i指向关节 i + 1 i+1 i+1，当 a i = 0 a_i=0 ai=0时，即轴 z i − 1 z{i-1} zi−1和轴 z i z_i zi相交时， X ^ i \hat{X}i X^i垂直于 Z ^ i − 1 \hat{Z}{i-1} Z^i−1和 Z ^ i \hat{Z}_{i} Z^i所在的平面
Y ^ i \hat{Y}_i Y^i轴：根据右手法则确定
O i O_i Oi点：在关节 i + 1 i+1 i+1的轴 Z i Z_i Zi轴与公垂线 a i a_i ai的交点
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（b）运动链首段连杆{ 0 0 0}坐标系的定义
设定 Z ^ 0 \hat{Z}_0 Z^0沿关节轴1的方向， O 0 O_0 O0和 X ^ 0 \hat{X}_0 X^0可以任意选择
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（c）运动链末端连杆末端执行器手部{ n n n}坐标系的定义
对坐标系{n}而言，由于没有关节n+1，但x_n轴必须与轴 z n − 1 z_{n-1} zn−1垂直，但 z n z_n zn不是唯一定义的，当关节n是转动的， z n z_n zn依照 z n − 1 z_{n-1} zn−1的方向设置
1.2.2 连杆参数在连杆坐标系中的表示方法
如果按照上述方法将连杆坐标系固定于连杆上时，下标为i的连杆参数可以由坐标系 i i i和坐标系 i − 1 i-1 i−1的位置和方向定义为
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a i a_{i} ai：沿 X ^ i \hat{X}{i} X^i轴，从 Z ^ i − 1 \hat{Z}{i-1} Z^i−1移动到 Z ^ i \hat{Z}_{i} Z^i的距离，Link_i的长度，通常取正值；
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α i \alpha_{i} αi：绕 X ^ i \hat{X}{i} X^i轴，从 Z ^ i − 1 \hat{Z}{i-1} Z^i−1旋转到 Z ^ i \hat{Z}_{i} Z^i的角度，采用右手法则判断正负；
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d i d_i di：沿 Z ^ i − 1 \hat{Z}{i-1} Z^i−1轴，从 X ^ i − 1 \hat{X}{i-1} X^i−1移动到 X ^ i \hat{X}{i} X^i的距离，即 x i − 1 x{i-1} xi−1和 x i x_i xi与 z i − 1 z_{i-1} zi−1轴交点的距离；
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θ i \theta_i θi：绕 Z ^ i − 1 \hat{Z}{i-1} Z^i−1轴，从 X ^ i − 1 \hat{X}{i-1} X^i−1旋转到 X ^ i \hat{X}_{i} X^i的角度，采用右手法则判断正负；
4 个参数中有2 个（ a i a_i ai和 α i \alpha_i αi〉始终为常数，只取决于由连杆i建立的相继关节之间的几何连接关系。其他两个参数中只有一个是变量，取决于连接连杆i-1 和连杆i 的关节的类型。详述如下：
- 如果关节i 是转动型的， 则变最为 θ i \theta_i θi。
- 如果关节i 是移动型的，则变量为 d i d_i di。
1.2.3 建立连杆坐标系的步骤
3.1.2.4 连杆变换的推导
i i − 1 T ( q i ) = R Z ( θ i ) D Z ( d i ) R Z ( α i ) D X ( a i ) = [ c θ i − s θ i 0 0 s θ i c θ i 0 0 0 0 1 d i 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 a i 0 c α i − s α i 0 0 s α i c α i 0 0 0 0 1 ] = [ c θ i − s θ i c α i s θ i s α i a i c θ i s θ i c θ i c α i − c θ i s α i a i s θ i 0 s α i c α i d i 0 0 0 1 ] \begin{aligned} i^{i-1}T(q_i)&=R_Z(\theta_i)D_Z(d_i)R_Z(\alpha{i})D_X(a_{i})\\ & \left.=\quad\left[\begin{array}{cccc}c_{\theta_i} & -s_{\theta_i} & 0 & 0 \\ s_{\theta_i} & c_{\theta_i} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right.\right] \ \left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & a_i \\ 0 & c_{\alpha_i} & -s_{\alpha_i} & 0 \\ 0 & s_{\alpha_i} & c_{\alpha_i} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \\ & \left.=\quad\left[\begin{array}{cccc}c_{\theta_i} & -s_{\theta_i}c_{\alpha_i} & s_{\theta_i}s_{\alpha_i} & a_ic_{\theta_i} \\ s_{\theta_i} & c_{\theta_i}c_{\alpha_i} & -c_{\theta_i}s_{\alpha_i} & a_is_{\theta_i} \\ 0 & s_{\alpha_i} & c_{\alpha_i} & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right.\right]\end{aligned} ii−1T(qi)=RZ(θi)DZ(di)RZ(αi)DX(ai)= cθisθi00−sθicθi00001000di1 10000cαisαi00−sαicαi0ai001 = cθisθi00−sθicαicθicαisαi0sθisαi−cθisαicαi0aicθiaisθidi1
从坐标系 i 到坐标系i - 1 的变换矩阵是一个只与关节变量 q i q_i qi有关的函数，如果是
转动关节则变量为 θ i \theta_i θi， 如果是移动关节则变量为 d i d_i di。
1.3 MDH和SDH两者对比
1.3.1 平面3R机器人
- 标准DH参数
- 修正DH参数
待补充