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个人经验，仅供参考
思路总结
思路1：通过技巧将行列式的形式变好，再归纳地展开
注：
- "好"的标准在于易于归纳
- "技巧"的含义丰富，常用技巧包括：借助模板，套用结论，初等变换，拆分，升阶等操作
- "展开"的含义既可指按某一行、某一列展开，也可指按Laplace定理的方式展开
思路2：将行列式视为多项式，尽可能提取多项式的因子
思路3：将行列式降阶
注：降阶的手段
- 将矩阵表达为两个矩阵之积，使用行列式乘法定理，或Cauchy-Binet公式
- 将矩阵分块，使用降阶公式；或先使用降阶公式，化矩阵为分块阵，再变形
模板
上（下）三角行列式
行列式的值即为对角线元素之积
Vandermonde行列式
V n = ∣ 1 x 1 x 1 2 ⋯ x 1 n − 1 1 x 2 x 2 2 ⋯ x 2 n − 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 x n x n 2 ⋯ x n n − 1 ∣ = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( x i − x j ) V_n=\begin{vmatrix} 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{n-1}\\ 1&x_2&x_2^2&\cdots&x_2^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^{n-1}\\ \end{vmatrix}=\prod\limits_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j) Vn= 11⋮1x1x2⋮xnx12x22⋮xn2⋯⋯⋯x1n−1x2n−1⋮xnn−1 =1≤i<j≤n∏(xi−xj)
证明思路：（用初等变换进行归纳展开）
每一行减去第一行，得 V n = ∣ 1 x 1 x 1 2 ⋯ x 1 n − 1 0 x 2 − x 1 x 2 2 − x 1 2 ⋯ x 2 n − 1 − x 1 n − 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 x n − x 1 x n 2 − x 1 2 ⋯ x n n − 1 − x 1 n − 1 ∣ V_n=\begin{vmatrix} 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{n-1}\\ 0&x_2-x_1&x_2^2-x_1^2&\cdots&x_2^{n-1}-x_1^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&x_n-x_1&x_n^2-x_1^2&\cdots&x_n^{n-1}-x_1^{n-1}\\ \end{vmatrix} Vn= 10⋮0x1x2−x1⋮xn−x1x12x22−x12⋮xn2−x12⋯⋯⋯x1n−1x2n−1−x1n−1⋮xnn−1−x1n−1 按第一列展开，并提取每行的公因式，得
( x 2 − x 1 ) ⋯ ( x n − x 1 ) ∣ 1 x 2 + x 1 ⋯ x 1 n − 2 + ⋯ + x 2 n − 1 ⋮ ⋮ ⋮ 1 x n + x 1 ⋯ x n n − 2 + ⋯ + x 1 n − 2 ∣ (x_2-x_1)\cdots(x_n-x_1)\begin{vmatrix} 1&x_2+x_1&\cdots&x_1^{n-2}+\cdots +x_2^{n-1}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&x_n+x_1&\cdots&x_n^{n-2}+\cdots+x_1^{n-2}\\ \end{vmatrix} (x2−x1)⋯(xn−x1) 1⋮1x2+x1⋮xn+x1⋯⋯x1n−2+⋯+x2n−1⋮xnn−2+⋯+x1n−2 从最后一列开始，每一列减去其前一列的 x 1 x_1 x1倍
得到 ( x 2 − x 1 ) ⋯ ( x n − x 1 ) ∣ 1 x 2 ⋯ x 2 n − 1 ⋮ ⋮ ⋮ 1 x n ⋯ x n n − 2 ∣ (x_2-x_1)\cdots(x_n-x_1)\begin{vmatrix} 1&x_2&\cdots&x_2^{n-1}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&x_n&\cdots&x_n^{n-2}\\ \end{vmatrix} (x2−x1)⋯(xn−x1) 1⋮1x2⋮xn⋯⋯x2n−1⋮xnn−2 至此容易归纳
爪型行列式
∣ A ∣ = ∣ a 1 b 2 b 3 ⋯ b n c 2 a 2 0 ⋯ 0 c 3 0 a 3 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c n 0 0 ⋯ a n ∣ = ( a 1 − ∑ i = 2 n b i c i a i ) a 2 a 3 ⋯ a n |A|=\begin{vmatrix} a_1&b_2&b_3&\cdots&b_n\\ c_2&a_2&0&\cdots&0\\ c_3&0&a_3&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ c_n&0&0&\cdots&a_n\\ \end{vmatrix}=(a_1-\sum\limits_{i=2}^n\frac{b_ic_i}{a_i})a_2a_3\cdots a_n ∣A∣= a1c2c3⋮cnb2a20⋮0b30a3⋮0⋯⋯⋯⋯bn00⋮an =(a1−i=2∑naibici)a2a3⋯an
证明思路：（用初等变换进行归纳展开）
将第 i i i 列乘以 − c i a i -\frac{c_i}{a_i} −aici倍加到第一列上，得
∣ A ∣ = ∣ a 1 − ∑ i = 2 n b i c i a i b 2 b 3 ⋯ b n 0 a 2 0 ⋯ 0 0 0 a 3 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ a n ∣ |A|= \begin{vmatrix} a_1-\sum\limits_{i=2}^n\frac{b_ic_i}{a_i}&b_2&b_3&\cdots&b_n\\ 0&a_2&0&\cdots&0\\ 0&0&a_3&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a_n\\ \end{vmatrix} ∣A∣= a1−i=2∑naibici00⋮0b2a20⋮0b30a3⋮0⋯⋯⋯⋯bn00⋮an
除对角线外各行均相等的行列式
∣ A ∣ = ∣ a 1 − x 1 a 2 a 3 ⋯ a n a 1 a 2 − x 2 a 3 ⋯ a n a 1 a 2 a 3 − x 3 ⋯ a n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a 1 a 2 a 3 ⋯ a n − x n ∣ = ( − 1 ) n − 1 x 1 x 2 ⋯ x n ( ∑ i = 1 n a i x i − 1 ) \begin{split}|A|&=\begin{vmatrix} a_1-x_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\ a_1&a_2-x_2&a_3&\cdots&a_n\\ a_1&a_2&a_3-x_3&\cdots&a_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n-x_n\\ \end{vmatrix}\\ &=(-1)^{n-1}x_1x_2\cdots x_n(\sum\limits_{i=1}^n\frac{a_i}{x_i}-1) \end{split} ∣A∣= a1−x1a1a1⋮a1a2a2−x2a2⋮a2a3a3a3−x3⋮a3⋯⋯⋯⋯ananan⋮an−xn =(−1)n−1x1x2⋯xn(i=1∑nxiai−1)
证明思路：（转化为爪型行列式）
将第一列的 − 1 -1 −1倍加到其余各列，得
∣ A ∣ = ∣ a 1 − x 1 a 2 a 3 ⋯ a n x 1 − x 2 0 ⋯ 0 x 1 0 − x 3 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ x 1 0 0 ⋯ − x n ∣ |A|=\begin{vmatrix} a_1-x_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\ x_1&-x_2&0&\cdots&0\\ x_1&0&-x_3&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ x_1&0&0&\cdots&-x_n\\ \end{vmatrix} ∣A∣= a1−x1x1x1⋮x1a2−x20⋮0a30−x3⋮0⋯⋯⋯⋯an00⋮−xn
三对角行列式
∣ D n ∣ = ∣ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ a n − 1 b n − 1 c n − 1 a n ∣ = a n D n − 1 − b n − 1 c n − 1 D n − 2 \begin{split}|D_n|&=\begin{vmatrix} a_1&b_1&&&&\\ c_1&a_2&b_2&&&\\ &c_2&a_3&\ddots&&\\ &&\ddots&\ddots&\ddots&\\ &&&\ddots&a_{n-1}&b_{n-1}\\ &&&&c_{n-1}&a_n\\ \end{vmatrix}\\ &=a_nD_{n-1}-b_{n-1}c_{n-1}D_{n-2} \end{split} ∣Dn∣= a1c1b1a2c2b2a3⋱⋱⋱⋱⋱an−1cn−1bn−1an =anDn−1−bn−1cn−1Dn−2
证明：只需按最后一列或最后一行展开
有用的二级结论
结论1
设 D n = ∣ a b c a b c a ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ a b c a ∣ D_n=\begin{vmatrix} a&b&&&&\\ c&a&b&&&\\ &c&a&\ddots&&\\ &&\ddots&\ddots&\ddots&\\ &&&\ddots&a&b\\ &&&&c&a\\ \end{vmatrix} Dn= acbacba⋱⋱⋱⋱⋱acba
D n = a D n − 1 − b c D n − 2 D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2} Dn=aDn−1−bcDn−2
令 { α + β = a α ⋅ β = b ⋅ c \begin{cases} \alpha+\beta=a\\ \alpha\cdot\beta=b\cdot c\\ \end{cases} {α+β=aα⋅β=b⋅c
若 α ≠ β ( a 2 ≠ 4 b c ) \alpha\neq\beta(a^2\neq 4bc) α=β(a2=4bc)，则 D n = α n + 1 − β n + 1 α − β D_n=\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha-\beta} Dn=α−βαn+1−βn+1
若 α = β ( a 2 = 4 b c ) \alpha=\beta(a^2= 4bc) α=β(a2=4bc)，则 D n = ( n + 1 ) ( a 2 ) n D_n=(n+1)(\frac{a}{2})^n Dn=(n+1)(2a)n
结论2
设参数t
∣ A ( t ) ∣ = ∣ a 11 + t a 12 + t ⋯ a 1 n + t a 21 + t a 22 + t ⋯ a 2 n + t ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 + t a n 2 + t ⋯ a n n + t ∣ |A(t)|= \begin{vmatrix} a_{11}+t&a_{12}+t&\cdots&a_{1n}+t\\ a_{21}+t&a_{22}+t&\cdots&a_{2n}+t\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}+t&a_{n2}+t&\cdots&a_{nn}+t\\ \end{vmatrix} ∣A(t)∣= a11+ta21+t⋮an1+ta12+ta22+t⋮an2+t⋯⋯⋯a1n+ta2n+t⋮ann+t
则 ∣ A ( t ) ∣ = ∣ A ( 0 ) ∣ + t ∑ i . j = 1 n A i j |A(t)|=|A(0)|+t\sum\limits_{i.j=1}^nA_{ij} ∣A(t)∣=∣A(0)∣+ti.j=1∑nAij
参考书：《高等代数学》谢启鸿 姚慕生 吴泉水 著