Day03 递推（概念篇）

《算法零基础》递推（概念篇）

前言

​ 递推最通俗的理解就是数列，递推和数列的关系就好比 算法 和 数据结构 的关系，数列有点像数据结构中的线性表（可以是顺序表，也可以是链表，一般情况下是顺序表），而递推就是一个循环或者迭代的枚举过程。

​ 递推本质上是数学问题，所以有同学问算法是不是需要数学非常好，也并不是，你会发现，这些数学只不过是初中高中我们学烂的东西，高考都经历了，这些东西又何足为惧！?

一、斐波那契数列

​ 斐波那契数（通常用 $F\; (\; n\; )\; F(n)$F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

$F\; (\; 0\; )\; =\; 0\; ，\; F\; (\; 1\; )\; =\; 1\; F(0)\; =\; 0，F(1)=\; 1$F(0)=0，F(1)=1

$F\; (\; n\; )\; =\; F\; (\; n\; -\; 1\; )\; +\; F\; (\; n\; -\; 2\; )\; F(n)\; =\; F(n\; -\; 1)\; +\; F(n\; -\; 2)$F(n)=F(n−1)+F(n−2)，其中 $n\; >\; 1\; n\; >\; 1$n>1，给定 $n\; (\; 0\; \le \; n\; \le \; 30\; )\; n(0\; \le \; n\; \le \; 30)$n(0≤n≤30) ，请计算 $F\; (\; n\; )\; F(n)$F(n) 。

​ 拿到这个题目，我们首先来看题目范围，最多不超过 30，那是因为斐波那契数的增长速度很快，是指数级别的。所以如果 n 很大，就会超过 c语言 中32位整型的范围。这是一个最基础的递推题，递推公式都已经告诉你了，我们要做的就是利用一个循环来实现这个递推。

​ 我们只需要用一个 F[31] 数组，初始化好 F[0] 和 F[1]，然后按照给定的公式循环计算就可以了。写成伪代码像这样：

int fib(int n) {
	int i;                      // (1)
	int F[31] = {0, 1};         // (2)
	for(i = 2; i <= n; ++i) {   // (3)
		F[i] = F[i-1] + F[i-2]; // (4)
	}
	return F[n];                // (5)
}

• (1) 首先定义一个循环变量；
• (2) 再定义一个数组记录斐波那契数列的第 n 项，并且初始化第0项 和 第1项。
• (3) 然后一个 for 循环，从第 2 项开始；
• (4) 利用递推公式逐步计算每一项的值；
• (5) 最后返回第 n 项即可。

二、泰波那契数列

泰波那契序列Tn定义如下：

T(0) = 0, T(1) = 1, T(2) = 1

​ 且在 $n\; >\; 2\; n\; >\; 2$n>2 的条件下 $T\; (\; n\; )\; =\; T\; (\; n\; -\; 1\; )\; +\; T\; (\; n\; -\; 2\; )\; +\; T\; (\; n\; -\; 3\; )\; T(n)\; =\; T(n-1)\; +\; T(n-2)\; +\; T(n-3)$T(n)=T(n−1)+T(n−2)+T(n−3)，给你整数 $n\; n$n，请返回第 $n\; n$n 个泰波那契数 $T\; (\; n\; )\; T(n)$T(n) 的值。

如果已经理解斐波那契数列，那么这个问题也不难，只不过初始化的时候，需要初始化前三个数，并且在循环迭代计算的时候，当前数的值需要前三个数的值累加和。像这样：

int tribonacci(int n){
	int T[100];
	T[0] = 0;
	T[1] = 1;
	T[2] = 1;
	for(int i = 3; i <= n; ++i) {
		T[i] = T[i-1] + T[i-2] + T[i-3];
	}
	return T[n];
}

三、斐波那契数列变形

​ 给定一个 $n\; (\; 1\; \le \; n\; \le \; 45\; )\; n(1\; \le \; n\; \le \; 45)$n(1≤n≤45) 代表总共有 $n\; n$n 阶楼梯，一开始在第 $0\; 0$0 阶，每次可以爬 $1\; 1$1 或者 $2\; 2$2 个台阶，问总共有多少种不同的方法可以爬到楼顶。

​ 我们定义一个数组 f[46]，其中 f[i] 表示从第 0 阶爬到第 i 阶的方案数。由于每次可以爬 1 或者 2 个台阶，所以对于第 i 阶楼梯来说，所以要么是从第 i-1 阶爬过来的，要么是从 i-2 阶爬过来的，如图所示：

​ 于是得出一个递推公式： $f$ i = f i − 1 + f i − 2 fi = fi-1 + fi-2 fi=fi−1+fi−2。

​ 我们发现这个就是斐波那契数列，你可以叫它递推公式，也可以叫它状态转移方程。这里的 f[i] 就是状态的概念，从一个状态到另一个状态就叫状态转移。

​ 当然我们还要考虑初始状态，f[0] 代表从第 0 阶到第 0 阶的方案数，当然就是 1 啦，f[1] 代表从第 0 阶到第 1 阶的方案数，由于只能走 1 阶，所以方案数也是 1 。

​ 代码就不再累述了。

四、二维递推问题

​ 像斐波那契数列这种问题，是一个一维的数组来解决的，有些时候，一维解决不了的时候，我们就需要升高一个维度来看问题了。

​ 长度为 n(1≤n<40) 的只由'A'、'C'、'M'三种字符组成的字符串（可以只有其中一种或两种字符，但绝对不能有其他字符）且禁止出现 M 相邻的情况，问这样的串有多少种？

​ 考虑长度为n，且以 'A' 结尾的串有 f[n][0] 种、以 'C' 结尾的串有 f[n][1] 种、以 'M' 结尾的串有 f[n][2] 种，那么我们要求的答案就是：

​ 想一下怎么进行递推？？？

​ 如果第 $n\; n$n 个结尾的字符是 'A' 或者 'C'，那么显然， 第 $n\; -\; 1\; n-1$n−1 个字符可以是任意字符；而如果第 $n\; n$n 个结尾的字符是 'M'，那么第 $n\; -\; 1\; n-1$n−1 个字符只能是是 'A' 或者 'C'。所以可以得到递推公式如下：

​ 到这一步，我们就可以利用程序求解了，但是，还可以化解，由于

​ 于是，可以得出：

从而得到：

令

​ 原式可以化解为如下递推式（升维再降维）：

​ 然后我们手动算出长度为 1 和 长度为 2 的串的方案数，递推的伪代码如下：

long long getACM(int n) {
	long long g[40];
	g[1] = 3, g[2] = 8;
	for(i = 3; i <= n; i++) {
		g[i] = 2 * (g[i-1] + g[i-2]);
	}
	return g[n];
}