《算法零基础》递推（概念篇）
前言
递推最通俗的理解就是数列，递推和数列的关系就好比 算法 和 数据结构 的关系，数列有点像数据结构中的线性表（可以是顺序表，也可以是链表，一般情况下是顺序表），而递推就是一个循环或者迭代的枚举过程。
递推本质上是数学问题，所以有同学问算法是不是需要数学非常好，也并不是，你会发现，这些数学只不过是初中高中我们学烂的东西，高考都经历了，这些东西又何足为惧！?
一、斐波那契数列
斐波那契数（通常用 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> F ( n ) F(n) </math>F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> F ( 0 ) = 0 ， F ( 1 ) = 1 F(0) = 0，F(1)= 1 </math>F(0)=0，F(1)=1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> F ( n ) = F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) </math>F(n)=F(n−1)+F(n−2)，其中 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n > 1 n > 1 </math>n>1，给定 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n ( 0 ≤ n ≤ 30 ) n(0 ≤ n ≤ 30) </math>n(0≤n≤30) ，请计算 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> F ( n ) F(n) </math>F(n) 。
拿到这个题目，我们首先来看题目范围，最多不超过 30，那是因为斐波那契数的增长速度很快，是指数级别的。所以如果 n 很大，就会超过 c语言 中32位整型的范围。这是一个最基础的递推题，递推公式都已经告诉你了，我们要做的就是利用一个循环来实现这个递推。
我们只需要用一个 F[31] 数组，初始化好 F[0] 和 F[1]，然后按照给定的公式循环计算就可以了。写成伪代码像这样：
cpp
int fib(int n) {
int i; // (1)
int F[31] = {0, 1}; // (2)
for(i = 2; i <= n; ++i) { // (3)
F[i] = F[i-1] + F[i-2]; // (4)
}
return F[n]; // (5)
}- (1) 首先定义一个循环变量；
- (2) 再定义一个数组记录斐波那契数列的第 n 项，并且初始化第0项 和 第1项。
- (3) 然后一个 for 循环，从第 2 项开始；
- (4) 利用递推公式逐步计算每一项的值；
- (5) 最后返回第 n 项即可。
二、泰波那契数列
泰波那契序列Tn定义如下：
T(0) = 0, T(1) = 1, T(2) = 1
且在 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n > 2 n > 2 </math>n>2 的条件下 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> T ( n ) = T ( n − 1 ) + T ( n − 2 ) + T ( n − 3 ) T(n) = T(n-1) + T(n-2) + T(n-3) </math>T(n)=T(n−1)+T(n−2)+T(n−3)，给你整数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n，请返回第 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n 个泰波那契数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> T ( n ) T(n) </math>T(n) 的值。
如果已经理解斐波那契数列，那么这个问题也不难，只不过初始化的时候，需要初始化前三个数，并且在循环迭代计算的时候，当前数的值需要前三个数的值累加和。像这样：
cpp
int tribonacci(int n){
int T[100];
T[0] = 0;
T[1] = 1;
T[2] = 1;
for(int i = 3; i <= n; ++i) {
T[i] = T[i-1] + T[i-2] + T[i-3];
}
return T[n];
}三、斐波那契数列变形
给定一个 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n ( 1 ≤ n ≤ 45 ) n(1 ≤ n ≤ 45) </math>n(1≤n≤45) 代表总共有 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n 阶楼梯，一开始在第 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 0 </math>0 阶，每次可以爬 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 1 </math>1 或者 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 2 2 </math>2 个台阶，问总共有多少种不同的方法可以爬到楼顶。
我们定义一个数组 f[46]，其中 f[i] 表示从第 0 阶爬到第 i 阶的方案数。由于每次可以爬 1 或者 2 个台阶，所以对于第 i 阶楼梯来说，所以要么是从第 i-1 阶爬过来的，要么是从 i-2 阶爬过来的，如图所示：
于是得出一个递推公式： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f [ i ] = f [ i − 1 ] + f [ i − 2 ] f[i] = f[i-1] + f[i-2] </math>f[i]=f[i−1]+f[i−2]。
我们发现这个就是斐波那契数列，你可以叫它递推公式，也可以叫它状态转移方程。这里的 f[i] 就是状态的概念，从一个状态到另一个状态就叫状态转移。
当然我们还要考虑初始状态，f[0] 代表从第 0 阶到第 0 阶的方案数，当然就是 1 啦，f[1] 代表从第 0 阶到第 1 阶的方案数，由于只能走 1 阶，所以方案数也是 1 。
代码就不再累述了。
四、二维递推问题
像斐波那契数列这种问题，是一个一维的数组来解决的，有些时候，一维解决不了的时候，我们就需要升高一个维度来看问题了。
长度为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n ( 1 ≤ n < 40 ) n(1≤n<40) </math>n(1≤n<40) 的只由'A'、'C'、'M'三种字符组成的字符串（可以只有其中一种或两种字符，但绝对不能有其他字符）且禁止出现 M 相邻的情况，问这样的串有多少种？
考虑长度为n，且以 'A' 结尾的串有 f[n][0] 种、以 'C' 结尾的串有 f[n][1] 种、以 'M' 结尾的串有 f[n][2] 种，那么我们要求的答案就是：
想一下怎么进行递推？？？
如果第 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n 个结尾的字符是 'A' 或者 'C'，那么显然， 第 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n − 1 n−1 </math>n−1 个字符可以是任意字符；而如果第 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n 个结尾的字符是 'M'，那么第 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n − 1 n−1 </math>n−1 个字符只能是是 'A' 或者 'C'。所以可以得到递推公式如下：
到这一步，我们就可以利用程序求解了，但是，还可以化解，由于
于是，可以得出：
从而得到：
令
原式可以化解为如下递推式（升维再降维）：
然后我们手动算出长度为 1 和 长度为 2 的串的方案数，递推的伪代码如下：
cpp
long long getACM(int n) {
long long g[40];
g[1] = 3, g[2] = 8;
for(i = 3; i <= n; i++) {
g[i] = 2 * (g[i-1] + g[i-2]);
}
return g[n];
}