【机器学习-04】最小二乘法的推导过程及使用方法（python代码实现）

最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它可以通过最小化残差平方和来找到数据的最佳拟合线。有了上述内容铺垫之后，本文将介绍最小二乘法的推导过程，并提供使用Python实现最小二乘法的代码示例。

1.模型及方程组的矩阵形式改写

  首先，我们对 $f\; (\; x\; )\; =\; w\; 1\; x\; 1\; +\; w\; 2\; x\; 2\; +\; .\; .\; .\; +\; w\; d\; x\; d\; +\; b\; f(x)\; =\; w\_1x\_1+w\_2x\_2+...+w\_dx\_d+b$f(x)=w1x1+w2x2+...+wdxd+b模型进行矩阵形式改写。

• 模型改写称矩阵表达式

首先，假设多元线性方程有如下形式 $f\; (\; x\; )\; =\; w\; 1\; x\; 1\; +\; w\; 2\; x\; 2\; +\; .\; .\; .\; +\; w\; d\; x\; d\; +\; b\; f(x)\; =\; w\_1x\_1+w\_2x\_2+...+w\_dx\_d+b$f(x)=w1x1+w2x2+...+wdxd+b 令 $w\; =$ w 1 , w 2 , . . . w d T w = w_1,w_2,...w_d^T w=w1,w2,...wdT， $x\; =$ x 1 , x 2 , . . . x d T x = x_1,x_2,...x_d^T x=x1,x2,...xdT，则上式可写为

$f\; (\; x\; )\; =\; w\; T\; x\; +\; b\; f(x)\; =\; w^Tx+b$f(x)=wTx+b

在机器学习领域，我们使用线性回归模型来建模自变量和因变量之间的关系。在这个模型中，我们引入自变量的系数，通常被称为权重（weight）。这些权重反映了自变量对因变量的影响程度。因此，我们将线性回归模型中的自变量系数命名为w，这是"weight"的简写。通过调整这些权重，我们可以控制自变量对因变量的贡献程度，从而更好地拟合数据并进行预测。

• 将带入数据后的方程组改写为矩阵方程

并且，假设现在总共有m条观测值， $x\; (\; i\; )\; =$ x 1 ( i ) , x 2 ( i ) , . . . , x d ( i ) x^{(i)} = x_1\^{(i)}, x_2\^{(i)},...,x_d\^{(i)} x(i)=x1(i),x2(i),...,xd(i)，则带入模型可构成m个方程：

然后考虑如何将上述方程组进行改写，首先，我们可令

$w\; ^\; =$ w 1 , w 2 , . . . , w d , b T \hat w = w_1,w_2,...,w_d,b^T w^=w1,w2,...,wd,bT

$x\; ^\; =$ x 1 , x 2 , . . . , x d , 1 T \hat x = x_1,x_2,...,x_d,1^T x^=x1,x2,...,xd,1T

$X\; ^\; =$ x 1 ( 1 ) x 2 ( 1 ) . . . x d ( 1 ) 1 x 1 ( 2 ) x 2 ( 2 ) . . . x d ( 2 ) 1 . . . . . . . . . . . . 1 x 1 ( m ) x 2 ( m ) . . . x d ( m ) 1 \hat X = \left \\begin{array}{cccc} x_1\^{(1)} \&x_2\^{(1)} \&... \&x_d\^{(1)} \&1 \\\\ x_1\^{(2)} \&x_2\^{(2)} \&... \&x_d\^{(2)} \&1 \\\\ ... \&... \&... \&... \&1 \\\\ x_1\^{(m)} \&x_2\^{(m)} \&... \&x_d\^{(m)} \&1 \\\\ \\end{array}\\right X^= x1(1)x1(2)...x1(m)x2(1)x2(2)...x2(m)............xd(1)xd(2)...xd(m)1111

$y\; =$ y 1 y 2 . . . y m y = \left \\begin{array}{cccc} y_1 \\\\ y_2 \\\\ . \\\\ . \\\\ . \\\\ y_m \\\\ \\end{array}\\right y= y1y2...ym

$y\; ^\; =$ y \^ 1 y \^ 2 . . . y \^ m \hat y = \left \\begin{array}{cccc} \\hat y_1 \\\\ \\hat y_2 \\\\ . \\\\ . \\\\ . \\\\ \\hat y_m \\\\ \\end{array}\\right y^= y^1y^2...y^m

其中

• $w\; ^\; \backslash hat\; w$w^：方程系数所组成的向量，并且我们将自变量系数和截距放到了一个向量；
• $x\; ^\; \backslash hat\; x$x^：方程自变量和1共同组成的向量；
• $X\; ^\; \backslash hat\; X$X^：样本数据特征构成的矩阵，并在最后一列添加一个全为1的列；
• $y\; y$y：样本数据标签所构成的列向量;
• $y\; ^\; \backslash hat\; y$y^：预测值的列向量。

因此，上述方程组可表示为 $X\; ^\; \cdot \; w\; ^\; =\; y\; ^\; \backslash hat\; X\; \backslash cdot\; \backslash hat\; w\; =\; \backslash hat\; y$X^⋅w^=y^

• 模型进一步改写   在改写了 $x\; ^\; \backslash hat\; x$x^和 $w\; ^\; \backslash hat\; w$w^之后，线性模型也可以按照如下形式进行改写：

$f\; (\; x\; ^\; )\; =\; w\; ^\; T\; \cdot \; x\; ^\; f(\backslash hat\; x)\; =\; \backslash hat\; w^T\; \backslash cdot\; \backslash hat\; x$f(x^)=w^T⋅x^

2.构造损失函数

  在方程组的矩阵表示基础上，我们可以以SSE作为损失函数基本计算流程构建关于 $w\; ^\; \backslash hat\; w$w^的损失函数： $S\; S\; E\; L\; o\; s\; s\; (\; w\; ^\; )\; =\; \mid \; \mid \; y\; -\; X\; w\; ^\; \mid \; \mid \; 2\; 2\; =\; (\; y\; -\; X\; w\; ^\; )\; T\; (\; y\; -\; X\; w\; ^\; )\; SSELoss(\backslash hat\; w)\; =\; ||y\; -\; X\backslash hat\; w||\_2^2\; =\; (y\; -\; X\backslash hat\; w)^T(y\; -\; X\backslash hat\; w)$SSELoss(w^)=∣∣y−Xw^∣∣22=(y−Xw^)T(y−Xw^)

需要补充两点基础知识：

• 向量的2-范数计算公式
  上式中， $\mid \; \mid \; y\; -\; X\; w\; ^\; T\; \mid \; \mid \; 2\; ||y\; -\; X\backslash hat\; w^T||\_2$∣∣y−Xw^T∣∣2为向量的2-范数的计算表达式。向量的2-范数计算过程为各分量求平方和再进行开平方。例如 $a\; =$ 1 , − 1 , a=1, -1, a=1,−1,，则 $\mid \; \mid \; a\; \mid \; \mid \; 2\; =\; 1\; 2\; +\; (\; -\; 1\; )\; 2\; =\; 2\; ||a||\_2=\; \backslash sqrt\{1^2+(-1)^2\}=\backslash sqrt\{2\}$∣∣a∣∣2=12+(−1)2 =2 。

向量的1-范数为各分量绝对值之和。值得注意的是，矩阵也有范数的概念，不过矩阵的范数计算要比向量复杂得多。

• 2-范数计算转化为内积运算
  向量的2-范数计算结果其实就是向量（将其是做矩阵）的交叉乘积计算结果后开平方。例如， $a\; =$ 1 , − 1 a=1, -1 a=1,−1，则 $a\; a$a的交叉乘积为 $a\; \cdot \; a\; T\; =$ 1 , − 1 ⋅ 1 − 1 = 2 a \cdot a^T = 1, -1 \cdot \left \\begin{array}{cccc} 1 \\\\ -1 \\\\ \\end{array}\\right=2 a⋅aT=1,−1⋅1−1=2，开平方后等于其2-范数计算结果。

3.最小二乘法求解损失函数的一般过程

  在确定损失函数的矩阵表示形式之后，接下来即可利用最小二乘法进行求解。其基本求解思路仍然和Lesson 0中介绍的一样，先求导函数、再令导函数取值为零，进而解出参数取值。只不过此时求解的是矩阵方程。

在此之前，需要补充两点矩阵转置的运算规则： $(\; A\; -\; B\; )\; T\; =\; A\; T\; -\; B\; T\; (A-B)^T=A^T-B^T$(A−B)T=AT−BT $(\; A\; B\; )\; T\; =\; B\; T\; A\; T\; (AB)^T=B^TA^T$(AB)T=BTAT

接下来，对 $S\; S\; E\; L\; o\; s\; s\; (\; w\; )\; SSELoss(w)$SSELoss(w)求导并令其等于0：

∂w^SSELoss(w^)=∂w^∂∣∣y−Xw^∣∣22=∂w^∂(y−Xw^)T(y−Xw^)=∂w^∂(yT−w^TXT)(y−Xw^)=∂w^∂(yTy−w^TXTy−yTXw^+w^TXTXw^)=0−XTy−XTy+XTXw^+(XTX)Tw^=0−XTy−XTy+2XTXw^=2(XTXw^−XTy)=0

即 $X\; T\; X\; w\; ^\; =\; X\; T\; y\; X^TX\backslash hat\; w\; =\; X^Ty$XTXw^=XTy 要使得此式有解，等价于 $X\; T\; X\; X^TX$XTX（也被称为矩阵的交叉乘积crossprod存在逆矩阵，若存在，则可解出 $w\; ^\; =\; (\; X\; T\; X\; )\; -\; 1\; X\; T\; y\; \backslash hat\; w\; =\; (X^TX)^\{-1\}X^Ty$w^=(XTX)−1XTy

4.最小二乘法的简单实现(python实现)

使用方法：
现在我们将使用Python来实现最小二乘法，并拟合一组数据点。

首先，导入必要的库：

import numpy as np
接下来，定义数据点：

x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 3, 5, 6, 8])
然后，计算最小二乘法的参数：

n = len(x)
m = (n * np.sum(x * y) - np.sum(x) * np.sum(y)) / (n * np.sum(x**2) - np.sum(x)**2)
b = (np.sum(y) - m * np.sum(x)) / n
最后，打印拟合的直线方程：

print(f"拟合直线方程：y = {m}x + {b}")
运行代码，将得到拟合的直线方程。

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【补充阅读】简单线性回归方程的参数计算

  如果是简单线性回归，方程组形式也可快速推导自变量系数与截距。在简单线性回归中，w只包含一个分量，x也只包含一个分量，我们令此时的 $x\; i\; x\_i$xi就是对应的自变量的取值，此时求解过程如下

损失函数为： $S\; S\; E\; L\; o\; s\; s\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; m\; (\; f\; (\; x\; i\; )\; -\; y\; i\; )\; 2\; SSELoss\; =\; \backslash sum^m\_\{i=1\}(f(x\_i)-y\_i)^2$SSELoss=∑i=1m(f(xi)−yi)2

通过偏导为零求得最终结果的最小二乘法求解过程为：

其中， $x\; ˉ\; =\; 1\; m\; \sum \; i\; =\; 1\; m\; x\; i\; ，\; x\; i\; \backslash bar\; x\; =\; \backslash frac\{1\}\{m\}\backslash sum^m\_\{i=1\}x\_i，x\_i$xˉ=m1∑i=1mxi，xi为x的均值，并且 $(\; x\; i\; ,\; y\; i\; )\; (x\_i,y\_i)$(xi,yi)代表二维空间中的点。此外，我们也可以通过前文介绍的 $w\; ^\; =\; (\; X\; T\; X\; )\; -\; 1\; X\; T\; y\; \backslash hat\; w\; =\; (X^TX)^\{-1\}X^Ty$w^=(XTX)−1XTy结论，通过设置 $w\; w$w为两个分量的参数向量反向求解对应方程表达式来进行求解。

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【补充阅读】简单线性回归的"线性"与"回归"形象理解

  对于简单线性回归来说，由于模型可以简单表示为 $y\; =\; w\; x\; +\; b\; y=wx+b$y=wx+b形式，因此我们可以用二维平面图像来进行对应方程的函数图像绘制。例如，当模型为 $y\; =\; x\; +\; 1\; y=x+1$y=x+1时，函数图像如下所示：

import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(-5,5,0.1)
y = x + 1
plt.plot(x, y, '-', label='y=x+1')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend(loc = 2)

  于此同时，我们的建模数据为：

Whole weight	Rings
1	2
3	4

  将特征是为x、将标签是为y，则绘制图像可得：

# 绘制对应位置元素点图
A = np.arange(1, 5).reshape(2, 2)
plt.plot(A[:,0], A[:, 1], 'ro')

# 线性回归直线
plt.plot(x, y, '-', label='y=x+1')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend(loc = 2)

  由于模型方程是基于满足数据中x和y基本关系构建的，因此模型这条直线最终将穿过这两个点。而简单线性回归的几何意义，就是希望找到一条直线，尽可能的接近样本点。或者说，我们是通过一条直线去捕捉平面当中的点。当然，大多数情况下我们都无法对平面中的点进行完全的捕捉，而直线和点之间的差值，实际上就是SSE。

  而线性回归中回归的含义，则是：如果模型真实有效，则新数据也会像朝向这条直线"回归"一样，最终分布在这条直线附近。这就是简单线性回归中的"线性"和"回归"的形象理解。

当然，对于线性回归中的参数b，其实是bias（偏差或者截距）的简写，当x去职位0时，y=b，就好像直线在y轴上的截距，或者距离y=0的偏差。

  形象理解只是辅助理解，若要从机器学习角度建好一个线性回归模型，需要从特征加权求和汇总角度理解模型本质。