本专栏：数学系的数字信号处理 的前置知识主要有：数学分析（傅立叶级数的部分），泛函分析（ L p L^p Lp空间的部分）
连续信号、滤波器与采样定理
我们在数学上粗略地定义信号和滤波器，目的是快速理解相关知识的结构，而不是花费大量的时间在细节上。
本文中的 F \mathscr{F} F 符号均指傅立叶变换，我们也常记 F ( f ) \mathscr{F}(f) F(f) 为 f ^ \hat{f} f^
定义
信号：即把实数域映到复数域的函数 f : R → C f:\mathbb{R}\to\mathbb{C} f:R→C，一般是分段连续的
滤波器：把信号映为信号的变换
定义：时不变性
信号 f f f 的时不变算子是如下定义的 f a f_a fa
f a ( t ) = f ( t − a ) , a ∈ R f_a(t)=f(t-a),a\in\mathbb{R} fa(t)=f(t−a),a∈R滤波器 L L L 称为时不变的，若对任意信号 f f f 和实数 a a a，有 L ( f a ) = ( L f ) a L(f_a)=(Lf)_a L(fa)=(Lf)a
定理：线性时不变滤波器的结构
设 L L L 是分段连续信号 f f f 上的线性时不变滤波器，则存在可积函数 h h h ,使得对任意信号 f f f ，有 L ( f ) = f ∗ h L(f)=f*h L(f)=f∗h；
此时称 h h h 为冲激响应函数，称 h h h 的傅立叶变换 h ~ \tilde{h} h~ 为系统函数
证明思路
引理 ：（线性时不变滤波器使输入输出同频）
设线性时不变滤波器 L L L， t t t 为自变量，则 ∀ λ ∈ R \forall \lambda\in\mathbb{R} ∀λ∈R，存在函数 h h h ，使得
L ( e i λ t ) = 2 π h ~ ( λ ) e i λ t L(e^{i\lambda t})=\sqrt{2\pi}\tilde{h}(\lambda)e^{i\lambda t} L(eiλt)=2π h~(λ)eiλt
引理的证明思路：（不严格）
设 h λ ( t ) = L ( e i λ t ) h^{\lambda}(t)=L(e^{i\lambda t}) hλ(t)=L(eiλt)，由时不变性，
h λ ( t − a ) = L ( e i λ ( t − a ) ) h^{\lambda}(t-a)=L(e^{i\lambda (t-a)}) hλ(t−a)=L(eiλ(t−a))由线性性 L ( e i λ ( t − a ) ) = e − i λ a h λ ( t ) L(e^{i\lambda (t-a)})=e^{-i\lambda a}h^{\lambda}(t) L(eiλ(t−a))=e−iλahλ(t)故 h λ ( t ) = e i λ a h λ ( t − a ) h^{\lambda}(t)=e^{i\lambda a}h^{\lambda}(t-a) hλ(t)=eiλahλ(t−a)取 a = t a=t a=t，得到
h λ ( t ) = e i λ t h λ ( 0 ) h^{\lambda}(t)=e^{i\lambda t}h^{\lambda}(0) hλ(t)=eiλthλ(0)再取 h ~ \tilde{h} h~，使其满足
h ~ ( λ ) = h λ ( 0 ) 2 π \tilde{h}(\lambda)=\frac{h^{\lambda}(0)}{\sqrt{2\pi}} h~(λ)=2π hλ(0)
注：这个证明并没有解释结论形式的来源，也未解释满足所要求 h ~ \tilde{h} h~ 的存在性
定理的证明（不严格）
L ( f ) ( t ) = L F − 1 F ( f ) ( t ) = L [ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ^ ( λ ) e i λ t d λ ] L(f)(t)=L\mathscr{F}^{-1}\mathscr{F}(f)(t)=L[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\lambda)e^{i\lambda t}\mathrm{d}\lambda] L(f)(t)=LF−1F(f)(t)=L[2π 1∫−∞∞f^(λ)eiλtdλ]上式通过 Riemann 和近似，可以得到
L ( f ) ( t ) ≈ L [ 1 2 π ∑ j f ^ ( λ j ) e i λ j t Δ λ ] = 1 2 π ∑ j f ^ ( λ j ) L ( e i λ j t ) Δ λ ≈ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ^ ( λ ) L ( e i λ t ) d λ = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ^ ( λ ) h ^ ( λ ) e i λ t d λ = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ∗ h ^ ( λ ) e i λ t d λ = ( f ∗ h ) ( t ) \begin{split} L(f)(t)&\approx L[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum\limits_j\hat{f}(\lambda_j)e^{i\lambda_j t}\Delta \lambda]\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum\limits_j\hat{f}(\lambda_j)L(e^{i\lambda_j t})\Delta \lambda\\ &\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\lambda)L(e^{i\lambda t})\mathrm{d}\lambda\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\lambda)\hat{h}(\lambda)e^{i\lambda t}\mathrm{d}\lambda\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f*h}(\lambda)e^{i\lambda t}\mathrm{d}\lambda\\ &=(f*h)(t) \end{split} L(f)(t)≈L[2π 1j∑f^(λj)eiλjtΔλ]=2π 1j∑f^(λj)L(eiλjt)Δλ≈2π 1∫−∞∞f^(λ)L(eiλt)dλ=2π 1∫−∞∞f^(λ)h^(λ)eiλtdλ=2π 1∫−∞∞f∗h^(λ)eiλtdλ=(f∗h)(t)
定义：因果滤波器
输入信号到达后才有输出信号的滤波器，即
∀ a ∈ R , ∀ t < a , i f : f ( t ) = 0 , t h e n : L f ( t ) = 0 \forall a\in\mathbb{R},\forall t<a,if: f(t)=0,then:Lf(t)=0 ∀a∈R,∀t<a,if:f(t)=0,then:Lf(t)=0
定理：因果滤波器的刻画
设线性时不变滤波器 L L L 的冲激响应函数为 h h h，则 L L L 因果当且仅当 h ( t ) = 0 ( t < 0 ) h(t)=0(t<0) h(t)=0(t<0)
（不加证明）
推论 ：相应于 L L L 的系统函数 h ^ \hat{h} h^ 在 L L L 因果的条件下，可改写为
h ^ ( λ ) = ∫ 0 ∞ 1 2 π h ( t ) e − i λ t d t = L ( h ) ( i λ ) 2 π \hat{h}(\lambda)=\int_0^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}h(t)e^{-i\lambda t}\mathrm{d}t=\frac{\mathscr{L}(h)(i\lambda)}{\sqrt{2\pi}} h^(λ)=∫0∞2π 1h(t)e−iλtdt=2π L(h)(iλ)其中 L \mathscr{L} L 为拉普拉斯变换 L ( f ) ( t ) = ∫ 0 ∞ f ( λ ) e − λ t d λ \mathscr{L}(f)(t)=\int_0^{\infty}f(\lambda)e^{-\lambda t}\mathrm{d}\lambda L(f)(t)=∫0∞f(λ)e−λtdλ
定义：频率带限信号
即满足存在 Ω > 0 \Omega>0 Ω>0，使得 F ( f ) ( λ ) = 0 ( ∣ λ ∣ > Ω ) \mathscr{F}(f)(\lambda)=0(|\lambda|>\Omega) F(f)(λ)=0(∣λ∣>Ω) 的信号 f f f；当 Ω \Omega Ω 是使上述条件成立的最小频率时，称 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \Omgea at position 19: ...riangleq \frac{\̲O̲m̲g̲e̲a̲}{2\pi} 为自然频率（Nyquist频率）， 2 v 2v 2v 称为Nyquist 抽样率
定理：Shannon-Whittaker抽样定理
设 F ( f ) \mathscr{F}(f) F(f) 分段光滑且连续，且信号 f f f 带限 Ω \Omega Ω，则 f f f 可由可数个点确定，即
f ( t ) = ∑ j = − ∞ ∞ f ( t j ) sin [ Ω ( t − t j ) ] Ω ( t − t j ) f(t)=\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}f(t_j)\frac{\sin{[\Omega(t-t_j)]}}{\Omega(t-t_j)} f(t)=j=−∞∑∞f(tj)Ω(t−tj)sin[Ω(t−tj)]其中 t j = j π Ω , j = 0 , ± 1 , ± 2 , ... t_j=\frac{j\pi}{\Omega},j=0,\pm 1,\pm 2,\dots tj=Ωjπ,j=0,±1,±2,...
证明 ：
先将 f ^ ( λ ) \hat{f}(\lambda) f^(λ) 在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π] 上展为傅立叶级数，则
f ^ ( λ ) = ∑ k = − ∞ ∞ c k e i π k λ Ω \hat{f}(\lambda)=\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{i\pi k\frac{\lambda}{\Omega}} f^(λ)=k=−∞∑∞ckeiπkΩλ其中
c k = 1 2 Ω ∫ − Ω Ω f ^ ( λ ) e − i π k λ Ω d λ = 2 π 2 Ω 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ^ ( λ ) e − i π k λ Ω d λ = 2 π 2 Ω f ( − k π Ω ) \begin{split} c_k&=\frac{1}{2\Omega}\int_{-\Omega}^{\Omega}\hat{f}(\lambda)e^{-i\pi k\frac{\lambda}{\Omega}}\mathrm{d}\lambda\\ &=\frac{\sqrt{2\pi}}{2\Omega}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\lambda)e^{-i\pi k\frac{\lambda}{\Omega}}\mathrm{d}\lambda\\ &=\frac{\sqrt{2\pi}}{2\Omega}f(-\frac{k\pi}{\Omega}) \end{split} ck=2Ω1∫−ΩΩf^(λ)e−iπkΩλdλ=2Ω2π 2π 1∫−∞∞f^(λ)e−iπkΩλdλ=2Ω2π f(−Ωkπ)则
f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ^ ( λ ) e i λ t d λ = ∫ − Ω Ω ∑ k = − ∞ ∞ f ( t j ) 2 Ω e i λ ( t − t j ) d λ = ∑ k = − ∞ ∞ f ( t j ) 2 Ω ∫ − Ω Ω e i λ ( t − t j ) d λ = ∑ j = − ∞ ∞ f ( t j ) sin [ Ω ( t − t j ) ] Ω ( t − t j ) \begin{split} f(t)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\lambda)e^{i\lambda t}\mathrm{d}\lambda\\ &=\int_{-\Omega}^{\Omega}\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\frac{f(t_j)}{2\Omega}e^{i\lambda(t-t_j)}\mathrm{d}\lambda\\ &=\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\frac{f(t_j)}{2\Omega}\int_{-\Omega}^{\Omega}e^{i\lambda(t-t_j)}\mathrm{d}\lambda\\ &=\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}f(t_j)\frac{\sin{[\Omega(t-t_j)]}}{\Omega(t-t_j)} \end{split} f(t)=2π 1∫−∞∞f^(λ)eiλtdλ=∫−ΩΩk=−∞∑∞2Ωf(tj)eiλ(t−tj)dλ=k=−∞∑∞2Ωf(tj)∫−ΩΩeiλ(t−tj)dλ=j=−∞∑∞f(tj)Ω(t−tj)sin[Ω(t−tj)]
注：此定理中的级数一致收敛，但收敛速度很慢
定义：分辨率
设 f ∈ L 2 ( R ) f\in L^2(\mathbb{R}) f∈L2(R)，则 f f f 在 a ∈ R a\in\mathbb{R} a∈R 处的分辨率定义为
Δ a f = ∫ − ∞ ∞ ( t − a ) 2 ∣ f ( t ) ∣ 2 d t ∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ 2 d t \Delta_af=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}(t-a)^2|f(t)|^2\mathrm{d}t}{\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2\mathrm{d}t} Δaf=∫−∞∞∣f(t)∣2dt∫−∞∞(t−a)2∣f(t)∣2dt
性质
f f f 的图像越集中在 t = a t=a t=a 处，则 Δ a f \Delta_af Δaf 越小
定理：不确定性原理
设 f ∈ L 2 ( R ) , f ( ∞ ) = 0 f\in L^2(\mathbb{R}),f(\infty)=0 f∈L2(R),f(∞)=0，则对任意 a , α ∈ R a,\alpha\in\mathbb{R} a,α∈R，有 Δ a f Δ α f ^ ≥ 1 4 \Delta_af\Delta_{\alpha}\hat{f}\geq \frac{1}{4} ΔafΔαf^≥41
证明
可以验证
{ ( d d t − i α ) ( t − a ) } f − { ( t − a ) ( d d t − i α ) } f = f \{(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-i\alpha)(t-a)\}f-\{(t-a)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-i\alpha)\}f=f {(dtd−iα)(t−a)}f−{(t−a)(dtd−iα)}f=f不失一般性，设 ∣ ∣ f ∣ ∣ = 1 ||f||=1 ∣∣f∣∣=1
则 ∣ ∣ f ∣ ∣ = < ( d d t − i α ) ( t − a ) f , f ( t ) > − < ( t − a ) ( d d t − i α ) f , f ( t ) > = < ( t − a ) f ( t ) , ( − d d t + i α ) f > − < ( d d t − i α ) f , ( t − a ) f ( t ) > = 1 \begin{split} ||f||&=<(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-i\alpha)(t-a)f,f(t)>-<(t-a)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-i\alpha)f,f(t)>\\ &=<(t-a)f(t),(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}+i\alpha)f>-<(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-i\alpha)f,(t-a)f(t)>\\ &=1 \end{split} ∣∣f∣∣=<(dtd−iα)(t−a)f,f(t)>−<(t−a)(dtd−iα)f,f(t)>=<(t−a)f(t),(−dtd+iα)f>−<(dtd−iα)f,(t−a)f(t)>=1结合三角不等式，Schwarz不等式，有
1 ≤ 2 ∣ ∣ ( d d t − i α ) f ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ( t − a ) f ( t ) ∣ ∣ = 2 ∣ ∣ ( λ − a ) f ^ ( λ ) ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ( t − a ) f ( t ) ∣ ∣ = 2 Δ a f Δ α f ^ \begin{split} 1&\leq 2||(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-i\alpha)f||\cdot ||(t-a)f(t)||\\ &=2||(\lambda-a)\hat{f}(\lambda)||\cdot||(t-a)f(t)||\\ &=2\sqrt{\Delta_af\Delta_{\alpha}\hat{f}} \end{split} 1≤2∣∣(dtd−iα)f∣∣⋅∣∣(t−a)f(t)∣∣=2∣∣(λ−a)f^(λ)∣∣⋅∣∣(t−a)f(t)∣∣=2ΔafΔαf^