本专栏内容为：算法学习专栏，分为优选算法专栏，贪心算法专栏，动态规划专栏以及递归，搜索与回溯算法专栏四部分。 通过本专栏的深入学习，你可以了解并掌握算法。
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第五章
献给阿尔吉侬的花束：
算法原理：
用 aNN 接收地图。
disNN 存储到每个点的路径长度。
从起点出发，广度优先遍历地图：
起点入队。
如果队列非空，一直执行下面语句：
- 队头出队。
- 遍历队头的上下左右四个方向：如果是 '.' 走过去，并且该位置入队，该点对应的dis值更新为队头的dis + 1，该点更新为'#',表示走过了。如果是 '#' 不做处理，如果是 'E',走到了终点，输出该点对应的 dis 值。
如果队列为空，还没有找到终点，则无法到达，输出 oop!。
cpp
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 210;
char a[N][N];
int dis[N][N];
void bfs(PII start)
{
queue<PII> q;
q.push(start);//队头队，对应步骤1
while(!q.empty())
{
PII u = q.front();
q.pop();
int dx[4] = {-1, 0, 1, 0};
int dy[4] = {0, 1, 0 ,-1};
for(int i = 0; i < 4; i++)//遍历四个方向，对应步骤2
{
int x = u.first + dx[i];
int y = u.second + dy[i];
if(a[x][y] == '#') continue;//如果是'#',不做任何处理
if(a[x][y] == '.')//如果是 '.'，更新对应内容
{
dis[x][y] = dis[u.first][u.second] + 1;
a[x][y] = '#';
q.push({x, y});
}
if(a[x][y] == 'E')//如果是'E'，找到了，输出
{
cout << dis[u.first][u.second] + 1 << endl;
return;
}
}
}
cout << "oop!" << endl;//没有找到
}
int main()
{
int t;
cin >> t;
while(t--)
{
memset(a, '#', sizeof(a));//初始化地图，各个点都是墙。
memset(dis, 0, sizeof(dis));//初始化dis
int n,m;
PII start;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++)//从第一行存储地图，因为四周都是墙，bfs时，可以不做越界判断
{
for(int j = 1; j <= m; j++)//从第一；列存储地图，因为四周都是墙，bfs时，可以不做越界判断
{
cin >> a[i][j];
if(a[i][j] == 'S')//记录下起点位置。
start.first = i, start.second = j, a[i][j] = '#';
}
}
bfs(start);
}
}说明一下，地图初始化为全是墙，然后把地图存储在a11 ~ anm后，地图四周会被墙包围，所以 bfs 的时候，不用做地图越界处理了。
红与黑
算法原理：
深度优先遍历算法。
对于某个点执行如下算法：
-
从该点出发，如果可以往上走就往上走，对上方点递归执行该算法。
-
从该点出发，如果可以往右走就往右走，对右方点递归执行该算法。
-
从该点出发，如果可以往下走就往下走，对下方点递归执行该算法。
-
从该点出发，如果可以往左走就往左走，对左方点递归执行该算法。
cpp
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 25;
int n, m;
char g[N][N];//存储地板
int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};//上右下左四个方向
int dfs(int x, int y)//深度优先遍历
{
int cnt = 1;
g[x][y] = '#';
for (int i = 0; i < 4; i ++ )//走四个方向
{
int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
if (a < 0 || a >= n || b < 0 || b >= m) continue;
if (g[a][b] != '.') continue;
cnt += dfs(a, b);//如果可以走向某一个方向，对该方向上的点递归
}
return cnt;
}
int main()
{
while (cin >> m >> n, n || m)
{
for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> g[i];//一次读入一行
int x, y;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
for (int j = 0; j < m; j ++ )
if (g[i][j] == '@')
{
x = i;
y = j;
}
cout << dfs(x, y) << endl;
}
return 0;
}交换瓶子
算法原理：
暴力枚举
1、通过观察可以发现，我们每一个数都必须回到它自己的位置上，比如 1 必须在第一位，2 必须在第二位上
2、那么我们就可以这样操作，由于每个数必须回到自己的位置，直接从 1 枚举到 n n n ，如果当前位置的数不等于它的下标，那么我们就必须要把它给替换掉
3、设当前位置为 i i i 的话，那么我们就从 i + 1 i+1 i+1 开始往后枚举，直到找到对应的 a j j j 和我们的 i i i 相等，那么我们就把上个数交换，把交换次数++
4、容易证明这个算法的正确性，由于每个数必须回到原来的位置，所以我们这样子操作不会出现多于的步骤，因为每次操作都是必须的，即使这个算法看起来很麻烦
cpp
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=10010;
int n;
int a[N];
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(a[i]!=i)//直接遍历，如果不是自身的话，我们必然要交换，所以不会出现多于的操作
{
for(int j=i+1;j<=n;j++)
if(a[j]==i)
swap(a[i],a[j]);
sum++;
}
}
printf("%d\n",sum);
return 0;
}完全二叉树的权值
算法原理：
前置：完全二叉树性质
对于第 i i i 层，保证存在 2 i − 1 2^{i-1} 2i−1 个结点的满二叉树。
题目思路：
对于每一层的和，我们可以用 h h h 数组进行存储：
h 1 h_1 h1 = ∑ i = 2 1 − 1 2 1 − 1 ( a i ) \sum\limits^{2^{1}-1}_{i=2^{1-1}}(a_i) i=21−1∑21−1(ai)
h 2 h_2 h2 = ∑ i = 2 2 − 1 2 2 − 1 ( a i ) \sum\limits^{2^{2}-1}_{i=2^{2-1}}(a_i) i=22−1∑22−1(ai)
h 3 h_3 h3 = ∑ i = 2 3 − 1 2 3 − 1 ( a i ) \sum\limits^{2^{3}-1}_{i=2^{3-1}}(a_i) i=23−1∑23−1(ai)
h 4 h_4 h4 = ∑ i = 2 4 − 1 2 4 − 1 ( a i ) \sum\limits^{2^{4}-1}_{i=2^{4-1}}(a_i) i=24−1∑24−1(ai)
...
是不是发现突然很简单？对于每个 h i h_i hi，我们可以求 ∑ j = 2 i − 1 2 i − 1 ( a j ) \sum\limits^{2^{i}-1}_{j=2^{i-1}}(a_j) j=2i−1∑2i−1(aj) 就行啦！
cpp
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int INF = 0x7ffffff;
int n;
int a[1 << 17], h[17];//2^17 > 10^5
signed main() {
scanf ("%lld", &n);
for (int i = 1; i <= n; i ++)
scanf ("%lld", a + i);
//读入 ai，因为 n 的大小是 10^5, 所以用 scanf 这类较快的读入方式。
int i = 1, j = 0;
while (i <= n) {
++ j;
while (i < pow (2, j)) {//从 2^(j-1) 循环到 2^j-1
h[j] += a[i ++];
}
}
int maxx = -INF, res = 0;//找最大
for (i = 1; i <= j; i ++)
if (h[i] > maxx)
maxx = h[i],
res = i;
printf ("%lld\n", res);
return 0;
}地牢大师
算法原理：
分析
-
该迷宫为立体，故需要三维数组构建迷宫模型
-
要求第一次搜到的点即为答案，则考虑BFS
-
记录
S和E的位置，S为搜索开始的点，E为搜索结束点 -
搜索过程中的每个位置需要向六个方向偏移，需要偏移量数组
-
偏移点需满足的要求：不越界，未走过，不能是墙
#
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
int l,r,c; //迷宫参数
int px,py,pz,ex,ey,ez; //pi为S的位置，ei为E的位置
char mp[N][N][N]; //记录迷宫
int ans[N][N][N]; //存储答案
bool vis[N][N][N]; //记录该点是否走过的状态
struct point{ //点的坐标
int x,y,z;
};
queue<point> st; //搜索队列
int dx[]={1,-1,0,0,0,0},dy[]={0,0,1,-1,0,0},dz[]={0,0,0,0,1,-1}; //偏移量数组
int bfs(){
while(!st.empty()){ //当队头不为空时，扩展搜索队头
auto p=st.front();
for(int i=0;i<6;i++){
int m_x=p.x+dx[i],m_y=p.y+dy[i],m_z=p.z+dz[i]; //偏移之后的点的坐标
if(m_x<=l&&m_y<=r&&m_z<=c&&m_x>=1&&m_y>=1&&m_z>=1&&!vis[m_x][m_y][m_z]&&mp[m_x][m_y][m_z]!='#'){ //判断条件
vis[m_x][m_y][m_z]=1; //更新该点走过的状态
ans[m_x][m_y][m_z]=ans[p.x][p.y][p.z]+1; //更新偏移后的点距离S的步骤
if(mp[m_x][m_y][m_z]=='E') return ans[m_x][m_y][m_z]; //搜到E直接返回答案
st.push({m_x,m_y,m_z}); //将该点入队，继续扩展搜索
}
}
st.pop(); //队头扩展搜索完毕后出队
}
return 0; //所有的点扩展搜索完后若还未返回搜到E，说明无解
}
int main(){
while(cin>>l>>r>>c&&l&&r&&c){ //多实例读入
//还原数据
memset(ans,0,sizeof(ans));
memset(mp,0,sizeof(mp));
memset(vis,0,sizeof(vis));
while(st.size()){
st.pop();
}
//读入迷宫
for(int i=1;i<=l;i++){
for(int j=1;j<=r;j++){
for(int k=1;k<=c;k++){
cin>>mp[i][j][k];
if(mp[i][j][k]=='S') px=i,py=j,pz=k; //
if(mp[i][j][k]=='E') ex=i,ey=j,ez=k; //
}
}
}
vis[px][py][pz]=1; //标记S已经走过
st.push({px,py,pz}); //S点入队
int cnt=bfs(); //调用搜索，将从S点开始搜索
if(cnt!=0) printf("Escaped in %d minute(s).\n",cnt);
else cout<<"Trapped!"<<endl;
}
return 0;
}全球变暖
算法原理
题目一看就是"连通块问题"，是基础搜索。用DFS或BFS都行：遍历一个连通块（找到这个连通块中所有的'#'，并标记已经搜过，不用再搜）；再遍历下一个连通块...；遍历完所有连通块，统计有多少个连通块。
回到题目，什么岛屿不会被完全淹没？若岛中有个陆地（称为高地），它周围都是陆地，那么这个岛不会被完全淹没。
用DFS或BFS搜出有多少个岛（连通块），并且在搜索时统计那些没有高地的岛（连通块）的数量，就是答案。
因为每个像素点只用搜一次且必须搜一次，所以复杂度是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)的，不可能更好了。
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
char a[1010][1010]; //地图
int vis[1010][1010]={0}; //标记是否搜过
int d[4][2] = {{0,1}, {0,-1}, {1,0}, {-1,0}}; //四个方向
int flag; //用于标记这个岛中是否被完全淹没
void dfs(int x, int y)
{
vis[x][y] = 1; //标记这个'#'被搜过。注意为什么可以放在这里
if(a[x][y+1]=='#' && a[x][y-1]=='#' && a[x+1][y]=='#' && a[x-1][y]=='#')
flag = 1; //上下左右都是陆地，不会淹没
for(int i = 0; i < 4; i++){ //继续DFS周围的陆地
int nx = x + d[i][0], ny = y + d[i][1];
//if(nx>=1 && nx<=n && ny>=1 && ny<=n && vis[nx][ny]==0 && a[nx][ny]=='#') //题目说边上都是水，所以不用这么写了
if(vis[nx][ny]==0 && a[nx][ny]=='#') //继续DFS未搜过的陆地，目的是标记它们
dfs(nx,ny);
}
}
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++)
cin >> a[i][j];
int ans = 0 ;
for(int i = 1; i <= n; i++) //DFS所有像素点
for(int j = 1; j <= n; j++)
if(a[i][j]=='#' && vis[i][j]==0)
{
flag = 0;
dfs(i,j);
if(flag == 0) //这个岛全部被淹
ans++; //统计岛的数量
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}