TOP100-回溯（二）

4.39. 组合总和

给你一个 无重复元素 的整数数组 candidates 和一个目标整数 target ，找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的所有不同组合 ，并以列表形式返回。你可以按 任意顺序 返回这些组合。

candidates 中的 同一个 数字可以 无限制重复被选取 。如果至少一个数字的被选数量不同，则两种组合是不同的。

对于给定的输入，保证和为 target 的不同组合数少于 150 个。

示例 1：
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输入：candidates =[2,3,6,7],target =7
输出：[[2,2,3],[7]]
解释：
2 和 3 可以形成一组候选，2 + 2 + 3 = 7 。注意 2 可以使用多次。
7 也是一个候选， 7 = 7 。
仅有这两种组合。
示例 2：
复制代码
输入: candidates = [2,3,5],target = 8
输出: [[2,2,2,2],[2,3,3],[3,5]]
示例 3：
复制代码
输入: candidates =[2],target = 1
输出: []
提示：

1 <= candidates.length <= 30

2 <= candidates[i] <= 40

candidates 的所有元素 互不相同

1 <= target <= 40

思路：

本题没有数量要求，可以无限重复，但是有总和的限制，所以间接的也是有个数的限制。因为本题没有组合数量要求，仅仅是总和的限制，所以递归没有层数的限制，只要选取的元素总和超过target，就返回！

代码：

// 剪枝优化
class Solution {
    public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        Arrays.sort(candidates); // 先进行排序
        backtracking(res, new ArrayList<>(), candidates, target, 0, 0);
        return res;
    }

    public void backtracking(List<List<Integer>> res, List<Integer> path, int[] candidates, int target, int sum, int idx) {
        // 找到了数字和为 target 的组合
        if (sum == target) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }

        for (int i = idx; i < candidates.length; i++) {
            // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
            if (sum + candidates[i] > target) break;
            path.add(candidates[i]);
            backtracking(res, path, candidates, target, sum + candidates[i], i);
            path.remove(path.size() - 1); // 回溯，移除路径 path 最后一个元素
        }
    }
}

Python:

class Solution:

    def backtracking(self, candidates, target, total, startIndex, path, result):
        if total == target:
            result.append(path[:])
            return

        for i in range(startIndex, len(candidates)):
            if total + candidates[i] > target:
                continue
            total += candidates[i]
            path.append(candidates[i])
            self.backtracking(candidates, target, total, i, path, result)
            total -= candidates[i]
            path.pop()

    def combinationSum(self, candidates, target):
        result = []
        candidates.sort()  # 需要排序
        self.backtracking(candidates, target, 0, 0, [], result)
        return result

5.22. 括号生成

数字 n 代表生成括号的对数，请你设计一个函数，用于能够生成所有可能的并且 有效的括号组合。

示例 1：
复制代码
输入：n = 3
输出：["((()))","(()())","(())()","()(())","()()()"]
示例 2：
复制代码
输入：n = 1
输出：["()"]
提示：

1 <= n <= 8

思路：

回溯法，想象是否成功，通通建立2*n高的树，设置左右标志；加入左括号，则左标志+1，加入右括号，则右标志+1；仅当到达叶子节点时，左右标志也为n，才算做正确的输出。

代码：

class Solution:
    def generateParenthesis(self, n: int) -> List[str]:
        if n<=0:return []
        res = []

        def dfs(paths,left,right):
            if left>n or right >left: return#左括号多了，和右括号大于左括号数时，直接拜拜
            if len(paths) == n*2:
                res.append(paths)
                return

            dfs(paths+'(',left+1,right)
            dfs(paths+')',left,right+1)
        
        dfs('',0,0)
        return res

6.79. 单词搜索

给定一个 m x n 二维字符网格 board 和一个字符串单词 word 。如果 word 存在于网格中，返回 true ；否则，返回 false 。

单词必须按照字母顺序，通过相邻的单元格内的字母构成，其中"相邻"单元格是那些水平相邻或垂直相邻的单元格。同一个单元格内的字母不允许被重复使用。

示例 1：
复制代码
输入：board = [["A","B","C","E"],["S","F","C","S"],["A","D","E","E"]], word = "ABCCED"
输出：true
示例 2：
复制代码
输入：board = [["A","B","C","E"],["S","F","C","S"],["A","D","E","E"]], word = "SEE"
输出：true
示例 3：
复制代码
输入：board = [["A","B","C","E"],["S","F","C","S"],["A","D","E","E"]], word = "ABCB"
输出：false
提示：

m == board.length

n = board[i].length

1 <= m, n <= 6

1 <= word.length <= 15

board 和 word 仅由大小写英文字母组成

思路：

思路也应该就是深度优先搜索，然后剪枝。关键点在于：当访问到的位置不是下一个预期值时，直接跳出，然后回溯，不继续下去。

代码：

class Solution {
    public int m;
    public int n;
    public boolean exist(char[][] board, String word) {
        m=board.length;
        n=board[0].length;
        char[] words=word.toCharArray();
        for(int i =0;i<m;i++){
            for(int j = 0;j<n;j++){
                if(dfs(board,words,i,j,0))return true;
            }
        }
        return false;
    }
    boolean dfs(char[][] board,char[] word,int i,int j,int k){
        if(i>=m || i<0 || j>=n || j<0 || board[i][j] != word[k])return false;
        if(k == word.length-1)return true;
        board[i][j]='\0';
        boolean res = dfs(board, word, i + 1, j, k + 1) || dfs(board, word, i - 1, j, k + 1) || 
                      dfs(board, word, i, j + 1, k + 1) || dfs(board, word, i , j - 1, k + 1);
        board[i][j] = word[k];
        return res;
    }
}

7.131. 分割回文串

给你一个字符串 s，请你将s分割成一些子串，使每个子串都是 回文串 。返回 s 所有可能的分割方案。

示例 1：
复制代码
输入：s = "aab"
输出：[["a","a","b"],["aa","b"]]
示例 2：
复制代码
输入：s = "a"
输出：[["a"]]
提示：

1 <= s.length <= 16

s 仅由小写英文字母组成

思路：

1.先写一个函数用于判断是否为回文串

2.要划分出所有的子串，就是通过构建树来完成，而这个过程会用到深度优先搜索dfs(i)这个i是指第i个以后还没有遍历处理，而不是对第i个做操作,子串操作s.substring(start,end+1)

其他内容详见

代码：

class Solution {
    private String s;
    private final List<List<String>> res = new ArrayList<>();
    private final List<String> path = new ArrayList<>();//路径变量
    public List<List<String>> partition(String s) {
        this.s=s;//首先给字符串赋值
        //开始回溯（递归寻找）
        dfs(0,0);
        return res; 
    }

    private boolean isHuiWen(int left, int right){
        while(left<right)
            if(s.charAt(left++)!=s.charAt(right--))
                return false;
        return true;
    }

    //i后面的还没处理，从Start开始
    private void dfs(int i, int  start){
        if(i==s.length()){
            res.add(new ArrayList<>(path));//说明这个已经完成了，复制
            return;
        }
        //不选i与i+1之间的逗号
        if(i < s.length() - 1)
            dfs(i+1,start);
        // 选 i 和 i+1 之间的逗号（把 s[i] 作为子串的最后一个字符）
        //要对于检查回文的部分做操作，也就是把s[i]作为字符串的最后一个字符,
        //需要判断从start到i
        if(isHuiWen(start,i)){
            path.add(s.substring(start,i+1));//切割子串，第i+1不算入
            //判断下一个字符作为头
            dfs(i+1,i+1);
            path.remove(path.size()-1);//恢复现场
        }
    }


}

8.51. N 皇后

按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

示例 1：

复制代码

输入：n = 4
输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2：

复制代码

输入：n = 1
输出：[["Q"]]

提示：

1 <= n <= 9

思路：

首先，抄来回溯的模板：

void backtracking(参数){
    if(终止条件){
        存结果;
        return;        
    }
    for(选择:本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）){
        处理节点；
        backtracking（路径，选择列表）；//递归
        回溯，撤销处理结果;
    }

}

递归函数参数：

依然是定义全局变量二维数组result来记录最终的结果。

参数n是棋盘的大小，然后用row来记录当前遍历到了棋盘的第几层

这部分代码是：

result=[[]*n]*n
def backtrak(n , row , chessboard):#chessboard为棋盘

我们是逐行去寻找的，因此可以想到当当前遍历行数row为第n行时，回溯到了终点。因此回溯终点为：

if row == n :
    result.push_back(chessboard)
    return

单层搜索的逻辑：

递归深度其实就是row控制棋盘的行，每一层里for循环的col控制棋盘的列，一行一列决定了皇后的位置。

每次都是从新的一行开始搜索，因此都是从0开始

代码如下：

for(int col = 0; col < n ; col++){
    if(isValid(row,col,chessboard,n))
        chessboard[row][col] = 'Q';
        backtrack(n,row+1,chessboard);
        chessboard[row][col] = '.';    
}

验证是否合法的逻辑是：

1.不能同行

2.不能同列

3.不能同斜线（45度和135度）

代码：

bool isVaild(int row,int col, vector<string>& chessboard , int n){
    for(int i= 0;i < row ; i++){//同一列
        if(chessboard[i][col]=='Q')return false;
    }
    //45度检查
    for(int i= row-1 ,int j =col-1;i >=0 && j >=0 ; i--,j--){
        if(chessboard[i][j]=='Q')return false;    
    }
    //135度检查
    for(int i= row-1 ,int j =col+1;i >=0 && j < n  ; i--,j++){
        if(chessboard[i][j]=='Q')return false;  
    }
    return true;

}

总结来说：

棋盘的宽度就是for循环的长度，递归的深度就是棋盘的高度，这样就可以套进回溯法的模板里了。

代码：

class Solution:
    def solveNQueens(self, n: int) -> List[List[str]]:
        result = []  # 存储最终结果的二维字符串数组

        chessboard = ['.' * n for _ in range(n)]  # 初始化棋盘
        self.backtracking(n, 0, chessboard, result)  # 回溯求解
        return [[''.join(row) for row in solution] for solution in result]  # 返回结果集

    def backtracking(self, n: int, row: int, chessboard: List[str], result: List[List[str]]) -> None:
        if row == n:
            result.append(chessboard[:])  # 棋盘填满，将当前解加入结果集
            return

        for col in range(n):
            if self.isValid(row, col, chessboard):
                chessboard[row] = chessboard[row][:col] + 'Q' + chessboard[row][col+1:]  # 放置皇后
                self.backtracking(n, row + 1, chessboard, result)  # 递归到下一行
                chessboard[row] = chessboard[row][:col] + '.' + chessboard[row][col+1:]  # 回溯，撤销当前位置的皇后

    def isValid(self, row: int, col: int, chessboard: List[str]) -> bool:
        # 检查列
        for i in range(row):
            if chessboard[i][col] == 'Q':
                return False  # 当前列已经存在皇后，不合法

        # 检查 45 度角是否有皇后
        i, j = row - 1, col - 1
        while i >= 0 and j >= 0:
            if chessboard[i][j] == 'Q':
                return False  # 左上方向已经存在皇后，不合法
            i -= 1
            j -= 1

        # 检查 135 度角是否有皇后
        i, j = row - 1, col + 1
        while i >= 0 and j < len(chessboard):
            if chessboard[i][j] == 'Q':
                return False  # 右上方向已经存在皇后，不合法
            i -= 1
            j += 1

        return True  # 当前位置合法