【C++庖丁解牛】自平衡二叉搜索树--AVL树

🍁你好,我是 RO-BERRY 📗 致力于C、C++、数据结构、TCP/IP、数据库等等一系列知识 🎄感谢你的陪伴与支持 ,故事既有了开头,就要画上一个完美的句号,让我们一起加油



目录

  • 前言
  • [1 AVL树的概念](#1 AVL树的概念)
  • [2. AVL树节点的定义](#2. AVL树节点的定义)
  • [3. AVL树的插入](#3. AVL树的插入)
  • [4. AVL树的旋转](#4. AVL树的旋转)
  • [5 AVL树的验证](#5 AVL树的验证)
  • [6 AVL树的删除(了解)](#6 AVL树的删除(了解))
  • [7 AVL树的性能](#7 AVL树的性能)

前言

前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍,在其文档介绍中发现,这几个容器有个共同点是:其底层都是按照二叉搜索树来实现的,但是二叉搜索树有其自身的缺陷,假如往树中插入的元素有序或者接近有序,二叉搜索树就会退化成单支树,时间复杂度会退化成O(N),因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理,即采用平衡树来实现。

1 AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率,但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树,查找元素相当于在顺序表中搜索元素,效率低下。因此,两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法:当向二叉搜索树中插入新结点后,如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整),即可降低树的高度,从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树,或者是具有以下性质的二叉搜索树:

  1. 它的左右子树都是AVL树
  2. 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
  3. 平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度

平衡因子并不是必须的,它只是一种控制方式,帮助我们更便捷的控制树

【扩充】

这里为什么高度差为1?如果高度相等不是更平衡吗?

节点是一个一个插入的,有些情况是无法做到相等的,最优就是高度差是1;比如:两个节点的树和四个节点的树等等。

2. AVL树节点的定义

AVL树节点的定义:

c 复制代码
template<class T>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data)
		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		, _data(data), _bf(0)
		{}
	AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子
	AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子
	AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
	T _data;
	int _bf;                  // 该节点的平衡因子
};

3. AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子,因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步:

  1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
  2. 调整节点的平衡因子

插入节点会影响新增节点的部分祖先

更新原则:

  • 若是插入的是左节点则父节点的平衡因子减1
  • 若是插入的是右节点则父节点的平衡因子加1

是否要继续更新取决于新增节点会不会影响父节点的高度,从而决定会不会影响爷爷节点

  • 更新后,父节点所在的子树高度不变则不会影响爷爷节点

说明父节点的平衡因子是1或者-1,父节点在矮的那边插入了节点,左右均衡了,于是父节点的高度不变,则不会影响到爷爷,更新结束

  • 更新后,父节点所在的子树高度改变则会影响爷爷节点

说明更新前,父节点的平衡因子是0,父节点变得不均衡,但是不违反规则,高度改变,会影响爷爷节点继续往上更新

更新后,父节点的平衡因子为2或-2,说明该子树违反了平衡规则,需要处理->旋转
代码实现:

c 复制代码
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;
		
		//新节点插入后,AVL树的平衡性可能会遭到破坏,此时就需要更新平衡因子,并检测是否破坏了AVL树的平衡性

		/*
		pCur插入后,pParent的平衡因子一定需要调整,在插入之前,pParent的平衡因子分为三种情况:-1,0, 1, 分以下两种情况:
		 1. 如果pCur插入到pParent的左侧,只需给pParent的平衡因子-1即可
		 2. 如果pCur插入到pParent的右侧,只需给pParent的平衡因子+1即可
 
		 此时:pParent的平衡因子可能有三种情况:0,正负1, 正负2
		 1. 如果pParent的平衡因子为0,说明插入之前pParent的平衡因子为正负1,插入后被调整成0,此时满足AVL树的性质,插入成功
		 2. 如果pParent的平衡因子为正负1,说明插入前pParent的平衡因子一定为0,插入后被更新成正负1,此时以pParent为根的树的高度增加,需要继续向上更新
		 3. 如果pParent的平衡因子为正负2,则pParent的平衡因子违反平衡树的性质,需要对其进行旋转处理
		 */
		while (parent)
		{
			 // 更新双亲的平衡因子
			if (cur == parent->left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}
			// 更新后检测双亲的平衡因子
			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}

			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				// 插入前双亲的平衡因子是0,插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ,说明以双亲为根的二叉树的高度增加了一层,因此需要继续向上调整
				cur = cur->_parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				// 双亲的平衡因子为正负2,违反了AVL树的平衡性,需要对以pParent为根的树进行旋转处理
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else
				{
					RotateRL(parent);
				}

				break;
			}
			else
			{
				// 插入之前AVL树就有问题
				assert(false);
			}
		}

		return true;
	}

4. AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点,可能造成不平衡,此时必须调整树的结构,

使之平衡化。根据节点插入位置的不同,AVL树的旋转分为四种:

  1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左:右单旋

上图在插入前,AVL树是平衡的,新节点插入到30的左子树(注意:此处不是左孩子)中,30左子树增加了一层,导致以60为根的二叉树不平衡,要让60平衡,只能将60左子树的高度减少一层,右子树增加一层,即将左子树往上提,这样60转下来,因为60比30大,只能将其放在30的右子树,而如果30有右子树,右子树根的值一定大于30,小于60,只能将其放在60的左子树,旋转完成后,更新节点的平衡因子即可。

在旋转过程中,有以下几种情况需要考虑:

  1. 30节点的右孩子可能存在,也可能不存在
  2. 60可能是根节点,也可能是子树
  • 如果是根节点,旋转完成后,要更新根节点
  • 如果是子树,可能是某个节点的左子树,也可能是右子树
c 复制代码
void _RotateR(PNode pParent)
{
	// pSubL: pParent的左孩子
	// pSubLR: pParent左孩子的右孩子
	PNode pSubL = pParent->_pLeft;
	PNode pSubLR = pSubL->_pRight;
	
	// 旋转完成之后,30的右孩子作为双亲的左孩子
	pParent->_pLeft = pSubLR;
	// 如果30的左孩子的右孩子存在,更新亲双亲
	if (pSubLR)
		pSubLR->_pParent = pParent;
	// 60 作为 30的右孩子
	pSubL->_pRight = pParent;

	// 因为60可能是棵子树,因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
	PNode pPParent = pParent->_pParent;

	// 更新60的双亲
	pParent->_pParent = pSubL;

	// 更新30的双亲
	pSubL->_pParent = pPParent;
	// 如果60是根节点,根新指向根节点的指针
	if (NULL == pPParent)
	{
		_pRoot = pSubL;
		pSubL->_pParent = NULL;
	}
	else
	{
	// 如果60是子树,可能是其双亲的左子树,也可能是右子树
	if (pPParent->_pLeft == pParent)
		pPParent->_pLeft = pSubL;
	else
		pPParent->_pRight = pSubL;
	}
	// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
	pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;
}
  1. 新节点插入较高右子树的右侧---右右:左单旋

    实现及情况考虑可参考右单旋。

  2. 新节点插入较高左子树的右侧---左右:先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转,即:先对30进行左单旋,然后再对90进行右单旋,旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

c 复制代码
// 旋转之前,60的平衡因子可能是-1/0/1,旋转完成之后,根据情况对其他节点的平衡因子进行调整
void _RotateLR(PNode pParent)
{
	PNode pSubL = pParent->_pLeft;
	PNode pSubLR = pSubL->_pRight;
    
    // 旋转之前,保存pSubLR的平衡因子,旋转完成之后,需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子
	int bf = pSubLR->_bf;
    
    // 先对30进行左单旋
	_RotateL(pParent->_pLeft);
    
    // 再对90进行右单旋
	_RotateR(pParent);
	if(1 == bf)
	pSubL->_bf = -1;
	else if(-1 == bf)
	pParent->_bf = 1;
}
  1. 新节点插入较高右子树的左侧---右左:先右单旋再左单旋

参考右左双旋。

总结:

假如以pParent为根的子树不平衡,即pParent的平衡因子为2或者-2,分以下情况考虑

  1. pParent的平衡因子为2,说明pParent的右子树高,设pParent的右子树的根为pSubR
  • 当pSubR的平衡因子为1时,执行左单旋
  • 当pSubR的平衡因子为-1时,执行右左双旋
  1. pParent的平衡因子为-2,说明pParent的左子树高,设pParent的左子树的根为pSubL
  • 当pSubL的平衡因子为-1是,执行右单旋
  • 当pSubL的平衡因子为1时,执行左右双旋

旋转完成后,原pParent为根的子树个高度降低,已经平衡,不需要再向上更新。

实现代码

c 复制代码
#pragma once

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf; // balance factor
	pair<K, V> _kv;

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
		, _kv(kv)
	{}
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;

		while (parent)
		{
			if (cur == parent->left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}

			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				cur = cur->_parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				// 旋转处理
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else
				{
					RotateRL(parent);
				}

				break;
			}
			else
			{
				// 插入之前AVL树就有问题
				assert(false);
			}
		}

		return true;
	}

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		subR->_left = parent;
		Node* ppnode = parent->_parent;
		parent->_parent = subR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppnode;
		}

		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
	}

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		subL->_right = parent;

		Node* ppnode = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppnode;
		}

		subL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		int bf = subLR->_bf;
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == -1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};

5 AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制,因此要验证AVL树,可以分两步:

  1. 验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可得到一个有序的序列,就说明为二叉搜索树

  1. 验证其为平衡树
  • 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
  • 节点的平衡因子是否计算正确
c 复制代码
int _Height(PNode pRoot);
bool _IsBalanceTree(PNode pRoot)
{
	// 空树也是AVL树
	if (nullptr == pRoot) return true;
    
	// 计算pRoot节点的平衡因子:即pRoot左右子树的高度差
	int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
	int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);
	int diff = rightHeight - leftHeight;
 	// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等,或者
	// pRoot平衡因子的绝对值超过1,则一定不是AVL树
	if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))
	return false;
	// pRoot的左和右如果都是AVL树,则该树一定是AVL树
	return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot->_pRight);
 }

6 AVL树的删除(了解)

因为AVL树也是二叉搜索树,可按照二叉搜索树的方式将节点删除,然后再更新平衡因子,只不错与删除不同的时,删除节点后的平衡因子更新,最差情况下一直要调整到根节点的位置。具体实现学生们可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。

AVL树是一种自平衡的二叉搜索树,它的删除操作与插入操作类似,但需要在删除节点后进行平衡操作以保持树的平衡性。

AVL树的删除操作可以分为以下几种情况:

  1. 如果待删除的节点是叶子节点,直接删除即可。
  2. 如果待删除的节点只有一个子节点,将子节点替代待删除节点的位置。

如果待删除的节点有两个子节点,可以选择以下两种方式进行删除:

  • 找到待删除节点的前驱或后继节点,将其值复制到待删除节点,并将前驱或后继节点删除。
  • 找到待删除节点的左子树中的最大值或右子树中的最小值,将其值复制到待删除节点,并将最大值或最小值节点删除。

删除节点后,需要从被删除节点的父节点开始向上回溯,检查每个祖先节点是否平衡。如果发现某个祖先节点不平衡,需要进行相应的旋转操作来恢复平衡。

7 AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树,其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1,这样可以保证查询时高效的时间复杂度,即 l o g 2 ( N ) log_2 (N) log2(N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作,性能非常低下,比如:插入时要维护其绝对平衡,旋转的次数比较多,更差的是在删除时,有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此:如果需要一种查询高效且有序的数据结构,而且数据的个数为静态的(即不会改变),可以考虑AVL树,但一个结构经常修改,就不太适合。

AVL树是一种自平衡二叉搜索树,它的性能相对于普通的二叉搜索树更加稳定。AVL树的性能可以从以下几个方面来介绍:

  1. 查找操作:AVL树的查找操作与普通的二叉搜索树相同,时间复杂度为O(log n),其中n为树中节点的数量。由于AVL树是平衡的,所以查找操作的性能是稳定的。

  2. 插入和删除操作:AVL树在插入和删除节点时会进行自平衡操作,以保持树的平衡性。这些自平衡操作包括旋转和重新计算节点的平衡因子。插入和删除操作的时间复杂度也是O(log n),但由于需要进行自平衡操作,所以相对于普通二叉搜索树,AVL树的插入和删除操作可能会更耗时。

  3. 平衡性:AVL树的平衡性保证了树的高度始终保持在一个较小的范围内。具体来说,AVL树的任意节点的左右子树高度差不超过1。这种平衡性保证了查找、插入和删除操作的时间复杂度都能够保持在O(log n)。

  4. 空间复杂度:AVL树的空间复杂度与节点数量成正比,即O(n)。每个节点需要存储键值对以及额外的平衡因子信息。

总的来说,AVL树在查找操作上具有较好的性能,但在插入和删除操作上可能会稍微慢一些。然而,AVL树的平衡性保证了树的高度始终保持在一个较小的范围内,从而保证了整体的性能稳定性。

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