第十五届蓝桥杯第三期模拟赛第十题 ← 上楼梯

【问题描述】
小蓝要上一个楼梯，楼梯共有 n 级台阶（即小蓝总共要走 n 级）。小蓝每一步可以走 a 级、b 级或 c 级台阶。
请问小蓝总共有多少种方案能正好走到楼梯顶端？

【输入格式】
输入的第一行包含一个整数 n 。
第二行包含三个整数 a, b, c 。

【输出格式】
输出一行包含一个整数，表示答案。答案可能很大，请输出答案除以 1000000007 后的余数。

【样例输入】
4
1 2 3

【样例输出】
7

【评测用例规模与约定】
对于 30% 评测用例，1 <= a < b < c <= n <= 50。
对于 60% 评测用例，1 <= a < b < c <= n <= 1000。
对于所有评测用例，1 <= a < b < c <= n <= 1000000。

【算法分析】

● 本例用到的 vector 语法简介
vector<int> v(10); // 定义了10个 int 类型元素的向量 v，未初始化；
vector<int> v(10,1); //定义了10个 int 类型元素的向量 v，每个元素初始化为1。

● 1000000007，是最小的十位数质数。模1000000007，可以保证值永远在 int 的范围内。

● 此题解法，可由题目 https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/114990369 使用的"最后一步法"获得启发。由于本题是它的**++加难版本++** ，本质上一致，所以本题亦可利用动态规划问题的"最后一步法"尝试求解。
据上，设状态 f(x) 表示走到第 x 阶台阶时共有多少种走法。进而，可确立状态转移方程为 f(n)=f(n-a)+f(n-b)+f(n-c)。但是，a、b、c 是在程序运行后输入的，是不定的。所以，无法预先根据 a、b、c 的值，依据"最后一步法"在代码中确定相应的边界条件。故在代码上，就需要有所变化，即不以a、b、c 的值作为确立边界的条件，而是以 a、b、c 的值作为分段计算的条件，进行累加计算。如下图所示。

也就是说，最终合并计算的值就是状态转移方程 f(n)=f(n-a)+f(n-b)+f(n-c) 要确立的值。

【算法代码】

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n,a,b,c;
    cin>>n>>a>>b>>c;
    vector<int> v(n+1,0);
    
    v[0]=1;
    for(int i=a; i<=n; i++) {
        v[i]=(v[i]+v[i-a])%1000000007;
        if(i>=b) v[i]=(v[i]+v[i-b])%1000000007;
        if(i>=c) v[i]=(v[i]+v[i-c])%1000000007;
    }
    cout<<v[n]<<endl;
    
    return 0;
}


/*
in:
4
1 2 3
 
out:
7
*/

若依据本题解法思路，则题目 https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/114990369 的代码如下所示：

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a=1,b=2,c=3;

int main() {	
    int n;
    cin>>n;
    vector<int> v(n+1,0);
    
    v[0]=1;
    for(int i=a; i<=n; i++) {
        v[i]=(v[i]+v[i-a])%1000000007;
        if(i>=b) v[i]=(v[i]+v[i-b])%1000000007;
        if(i>=c) v[i]=(v[i]+v[i-c])%1000000007;
    }
    cout<<v[n]<<endl;
    
    return 0;
}


/*
in:5
out:13
*/

【参考文献】
https://www.ewbang.com/community/article/details/997972208.html
https://blog.csdn.net/weixin_45697711/article/details/121579057
https://blog.csdn.net/weixin_73332175/article/details/136502012