算法复杂度
- 不依赖于环境因素
- 事前分析法
- 计算最坏情况的时间复杂度
- 每一条语句的执行时间都按照t来计算
时间复杂度
- 大O表示法
- n = 数据量 ; f(n) = 实际的执行条数
- 当存在一个n~0~ , 使得 n > n~0~,并且 c * g(n) 恒> f(n) : 渐进上界(算法最坏的情况)
- 那么f(n)的时间复杂度 => O(g(n))
- 大O表示法
- f(n)中的常数量省略
- f(n)中较低次幂省略
- log~2~(n) => log(n)
- 常见的表示
- O(1) > O(log(n)) >> O(n) > O(nlog(n)) >> O(n^2^) > O(2^n) >> O(n!)
空间复杂度
- 除原始参数以外,额外空间成本
二分查找
基础版
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步骤
- 有序数组A , 目标值target
- 左右索引值 : i = 0 , j = n - 1;
- 判断 i > j => 结束查找,没找到
- 中间索引 m = ( i + j) / 2 : 整形自动向下取整
- 判断 m > target : j = m -1; -> 跳到第三步继续执行
- 判断 m < target : i = m + 1; -> 跳到第三步继续执行
- 判断 m = target : 得到结果结束程序,返回索引值
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代码如下
java/** * 编写二分查找方法 * @param A : 有序数组a * @param target : 目标查找值 * @return 返回索引值 */ public static int binarySearchBasic(int[] A, int target) { // 定义左右指针 int i = 0, j = A.length - 1; // 定义循环条件 while (i <= j) { // 定义中间指针m // int m = (i + j) / 2; int m = (i + j) >>> 1; // 判断A[m] 值 与 target值 if (target < A[m]){ // 中间值大 : 指针[m , j]中的值都会比target值大 j = m - 1; } else if (A[m] < target){ // 中间值小 : 指针[i , m]中的值都会比target值小 i = m + 1; } else { // A[m] == target: 得到结果,结束循环,返回m return m; } } //i > j : 结束循环 return -1; // 结束循环,返回-1 } -
问题一 : 代码while循环中为什么是i <= j , 而不是 i < j ?
答 : 首先 代码return -1; 本身表示的就是在 i>j 的情况下结束,没有找到,返回-1; , 那么相反对应的循环内就应该为 i <= j
其次, while(i < j ) 表示的是 只有i,j中间的m会参与比较 ; 而while(i <= j) : 表示 i , j所指向的元素 也会参与比较. 当i == j 的时候, m = i = j = (i + j) /2
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问题二: 代码 int m = (i + j) / 2; 是否有问题?
答: 有问题.
假设 j 的值为整数类型最大值 (Integer.MAX_VALUE - 1) , 并且target值在数组的右侧 (target > A[m]) , 那么我们就需要将 索引i 的值调到m的右侧
即 : i = (i + j) /2 + 1; j = 整数类型最大值 = Integer.MAX_VALUE - 1;
那么根据Java int类型的特性, Java二进制首位为符号位,则会导致下一次进行 m = (i + j) / 2 的时候,使m成为负数
解决办法: 无符号右移运算符 数字 >>> 位数n
在二进制中,二进制码整体向右平移指定位数n就相当于n / 2^n^ , 数字 >>> 1 => 数字 / 2运算取整
改动版
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步骤
- 让右指针作为边界,必须不参与比较运算
- 循环不能有i=j的情况,如果i=j的话,则会造成m = i = j = (i + j) / 2 , 则不符合第一点j不参与比较运算的条件
- 当m指针所对应的值 > target值时,让j指针=m , 因为m指针对应的值已经参与过比较,并且肯定不等于target值,可作为边界不参与比较运算.
- 如果还是j = m - 1情况, m - 1的指针存在这等于target的可能,于第一点让j作为边界条件不服.
- 并且,当j= m - 1 , 如果要查找的target值不在数组A中时,会出现死循环的情况
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代码如下
javapublic static int binarySearchAlter(int[] A, int target) { // 改动一: 其中右指针j作为边界, 必须不参与运算比较 int i = 0, j = A.length; // 定义循环条件 , 改动二: 由于不让j指针值参与比较, 故不需要i=j的情况,当i=j时,j被带着参与了比较,当target值不是数组值的时候,会导致死循环的情况 while (i < j) { int m = (i + j) >>> 1; if (target < A[m]) { // 改动三: j作为边界,不参与比较.故当判断出来target值在m指针左侧时,m指针对应值已经判断过了,不可能和target相等,让j=m,及让j作为一个不可能相等的边界使用 j = m; } else if (A[m] < target) { i = m + 1; } else { return m; } } return -1; }
平衡版
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代码如下
java/** * 二分查找平衡版 * * @param A : 有序数组a * @param target : 目标查找值 * @return 返回索引值 */ public static int binarySearchBalance(int[] A, int target) { // 定义左右边界,左边i指针对应的值可能target , 右指针j作为边界, 必须不参与运算比较 int i = 0, j = A.length; // 定义循环条件 , 目的为缩小比较范围,将最后比较功能放到循环以外 // 由i < j => 0 < j - i 改为 1 < j - i; 表示[i , j]区间内待比较的个数是否有1个以上 while (1 < j - i) { // 定义中间索引 int m = (i + j) >>> 1; if (target < A[m]) { // j作为右边界,不参与比较.故当判断出来target值在m指针左侧时,m指针对应值已经判断过了,不可能和target相等,让j=m,及让j作为一个不可能相等的边界使用 j = m; } else { // 及 A[m] <= target的情况,及 i指针对应的值是有可能为target结果的 i = m; } } // 将缩减范围后剩余的一个索引i所对应的值与target进行比较 if (A[i] == target){ return i; } else { return -1; } }
二分查找-Java版源码
- 通过Arrays.binarySearch(int[] arr, int key);方法调用
java
/**
* Searches the specified array of ints for the specified value using the
* binary search algorithm. The array must be sorted (as
* by the {@link #sort(int[])} method) prior to making this call. If it
* is not sorted, the results are undefined. If the array contains
* multiple elements with the specified value, there is no guarantee which
* one will be found.
*
* @param a the array to be searched
* @param key the value to be searched for
* @return index of the search key, if it is contained in the array;
* otherwise, <code>(-(<i>insertion point</i>) - 1)</code>. The
* <i>insertion point</i> is defined as the point at which the
* key would be inserted into the array: the index of the first
* element greater than the key, or {@code a.length} if all
* elements in the array are less than the specified key. Note
* that this guarantees that the return value will be >= 0 if
* and only if the key is found.
*/
public static int binarySearch(int[] a, int key) {
return binarySearch0(a, 0, a.length, key);
}
// Like public version, but without range checks.
private static int binarySearch0(int[] a, int fromIndex, int toIndex,
int key) {
int low = fromIndex;
int high = toIndex - 1;
while (low <= high) {
int mid = (low + high) >>> 1;
int midVal = a[mid];
if (midVal < key)
low = mid + 1;
else if (midVal > key)
high = mid - 1;
else
return mid; // key found
}
return -(low + 1); // key not found.
}二分查找对于重复元素查找的处理
获取重复最左侧索引值
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步骤
- 添加一个结果变量索引值,用来存储当m索引值与target相等时,存储m索引值 ,
- 当相等时,j继续缩小边界,程序继续直到程序结束,获取最左侧结果
- i > j : 结束循环 , 返回结果索引值
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代码如下
javapublic static int binarySearchLeftMost(int[] A, int target) { // 定义左右指针 int i = 0, j = A.length - 1; // 定义结果变量索引值 int resIndex = -1; // 定义循环条件 while (i <= j) { // 定义中间指针m int m = (i + j) / 2; // 判断A[m] 值 与 target值 if (target < A[m]){ // 中间值大 : 指针[m , j]中的值都会比target值大 j = m - 1; } else if (A[m] < target){ // 中间值小 : 指针[i , m]中的值都会比target值小 i = m + 1; } else { // A[m] == target: 将结果存储到结果索引值中, 并将右侧边界缩小,继续进行程序,直到程序结束,获取最左侧结果 resIndex = m; j = m - 1; } } //i > j : 结束循环 , 返回结果索引值 return resIndex; } -
获取重复最右侧索引值 : 将上放代码第20行 j = m - 1; => 改为 i = m + 1; 即可
修改返回值意义
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获取<= 索引值 最靠右的索引值结果 , 代码如下:
javapublic static int binarySearchRightMost1(int[] A, int target) { // 定义左右指针 int i = 0, j = A.length - 1; // 定义循环条件 while (i <= j) { // 定义中间指针m int m = (i + j) / 2; // 判断A[m] 值 与 target值 if (target < A[m]) { j = m - 1; } else { i = m + 1; } } //返回 <= 索引值 最靠右的索引值结果 return i - 1; } -
获取 >= target 最靠左的索引位置 , 代码如下:
Javapublic static int binarySearchLeftMost1(int[] A, int target) { // 定义左右指针 int i = 0, j = A.length - 1; // 定义循环条件 while (i <= j) { // 定义中间指针m int m = (i + j) / 2; // 判断A[m] 值 与 target值 if (target <= A[m]) { // 中间值>= target j = m - 1; } else { // 中间值小 : 指针[i , m]中的值都会比target值小 i = m + 1; } } //返回 >= target最靠左的索引位置 return i; }
应用
- leftMost() :
- 求排名 leftMost() + 1 ;
- 求前任 leftMost() - 1 ;
- rightMost() :
- 求后任 rightMost + 1;
- 最近邻居问题
- 求前任 , 求后任
- 计算两个值 离 本值 更小的
- 范围查询
- x < n : [0 , leftMost(n) - 1]
- x <= n : [0 , rightMost(n)]
- x > n : [rightMost(n) + 1 , ∞]
- x >= n : [leftMost(n) , ∞]
- n <= x <= m : [leftMost(n) , rightMost(m)]
- n < x < m : [rightMost(n) + 1 . leftMost(m) - 1]
性能
- 时间复杂度最坏情况 : O(log(n))
- 空间复杂度 : O(1)
数组
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连续存储
- -> 故可以通过索引值计算地址
- 公式 : 索引位置 + i * 字节数
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随机访问时间复杂度: O(1)
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动态数组类需要三个东西
- 数组容量
- 数组逻辑大小 : 就是数组实际存了几个值
- 静态数组
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给数组添加元素
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在末尾添加元素 => 给数组size位置上添加元素 -> 即调用下面方法
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给数组指定位置添加元素
- 将数组指定位置后的元素后移
- 插入元素到指定位置上
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插入删除的时间复杂度: O(n)
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代码如下:
java// 给数组添加元素 => 给数组size位置上添加元素 private void add(int element){ // arrs[size] = element; // size++; addAppoint(size, element); } // 给数组指定位置添加元素 private void addAppoint(int index , int element){ if (index >= 0 && index < size){ System.arraycopy(arrs, index, arrs, index + 1, size - index); } arrs[index] = element; size++; }
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当数组存储元素达到容量上限,需要考虑数组扩容问题
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每次添加元素的时候,判断size和capacity
- 定义一个新数组,容量大小是旧数组的1.5倍或两倍
- 将旧数组的数据复制到新数组中
- 将新数组的引用值 赋值 给旧数组
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使用懒惰初始化思想优化代码
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代码如下:
javaprivate void checkArrsCapacity() { if (size == 0) { arrs = new int[capacity]; } else if (capacity == size) { capacity += capacity >> 1; // 扩大数组容量 int[] newArrs = new int[capacity]; System.arraycopy(arrs, 0, newArrs, 0, size); arrs = newArrs; } } @Test @DisplayName("测试扩容") public void test5() { DynamicArray dynamicArray = new DynamicArray(); for (int i = 0; i < 9; i++) { dynamicArray.add(i + 1); } assertIterableEquals(List.of(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), dynamicArray); }
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给动态数组遍历的三种方式
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使用Consumer函数式接口,实现遍历
java// 动态数组的遍历 , 使用Comsumer函数式接口实现 public void foreach(Consumer<Integer> consumer){ for (int i = 0; i < size; i++) { consumer.accept(arrs[i]); } } @Test public void test3() { DynamicArray dynamicArray = new DynamicArray(); dynamicArray.add(1); dynamicArray.add(2); dynamicArray.add(3); dynamicArray.foreach(System.out::println); } -
使用迭代器实现遍历
java@Override public Iterator<Integer> iterator() { return new Iterator<Integer>() { int i = 0; @Override public boolean hasNext() { return i < size; } @Override public Integer next() { return arrs[i++]; } }; } @Test public void test2() { DynamicArray dynamicArray = new DynamicArray(); dynamicArray.add(1); dynamicArray.add(2); dynamicArray.add(3); for (Integer element : dynamicArray) { System.out.println(element); } } -
使用stream流实现遍历
java// 动态数组的遍历: 使用stream流实现 public IntStream stream(){ return IntStream.of(Arrays.copyOfRange(arrs, 0, size)); } @Test public void test1() { DynamicArray dynamicArray = new DynamicArray(); dynamicArray.add(1); dynamicArray.add(2); dynamicArray.add(3); dynamicArray.stream().forEach(System.out::println); }
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动态数组的删除
- 使用system.arraycopy方法, 将要删除指针后的元素向前移动一位
- 插入删除: O(n)
javapublic int remove(int index) { int removeNum = arrs[index]; // 返回删除数据 if (index < size - 1) { System.arraycopy(arrs, index + 1, arrs, index, size - index - 1); } size--; return removeNum; } // 使用断言进行测试 @Test @DisplayName("测试删除") public void test4() { DynamicArray dynamicArray = new DynamicArray(); dynamicArray.add(1); dynamicArray.add(2); dynamicArray.add(3); dynamicArray.add(4); dynamicArray.add(5); int remove = dynamicArray.remove(3); // System.out.println("remove = " + remove); assertEquals(4 , remove); // 遍历剩余数组元素 // dynamicArray.foreach(System.out::println); assertIterableEquals(List.of(1,2,3,5), dynamicArray); }