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文章目录
- 1.红黑树的概念
- [2 红黑树的性质](#2 红黑树的性质)
- [3 红黑树节点的定义](#3 红黑树节点的定义)
- 4.红黑树的插入操作(分类详解)
- 5.红黑树与AVL树的比较
1.红黑树的概念
红黑树,是一种二叉搜索树,但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色,可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制,红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍,因而是接近平衡的。
2 红黑树的性质
性质:
- 每个结点不是红色就是黑色
- 根节点是黑色的
- 如果一个节点是红色的,则它的两个孩子结点是黑色的
- 对于每个结点,从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上,均包含相同数目的黑色结点
- 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)
思考:为什么满足上面的性质,红黑树就能保证:其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍?
首先,要满足黑色节点数目相同,则当只有黑色节点的时候,路径最短,因为红色节点不能连续出现,所以当黑色节点与红色节点交替的时候,路径最长,并且为最短的两倍。
3 红黑树节点的定义
cpp
enum color //颜色
{
RED,
BLACK
};
template<class K, class V>
struct AVLNode
{
AVLNode<K, V>* _left;
AVLNode<K, V>* _right;
AVLNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
color _col; //记录节点颜色
AVLNode(pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _kv(kv)
, _col(RED) //新节点的颜色默认为红色
{}
};
新插入节点的颜色为红色的原因?
原因:因为红黑树有一条规则,就是每条路径的黑色节点数目相等,插入前每条路径的黑色数目是相等的,但是如果插入的是黑色节点的话,那么该条路径的黑色节点的数目就多了一个,直接违反规则,所以插入新节点为红色节点;
4.红黑树的插入操作(分类详解)
红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件,因此红黑树的插入可分为两步:
- 按照二叉搜索的树规则插入新节点
- 检测新节点插入后,红黑树的性质是否造到破坏
因为新节点的默认颜色是红色,因此:如果其双亲节点的颜色是黑色,没有违反红黑树任何性质,则不需要调整;
但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时,就违反了性质三不能有连在一起的红色节点,此时需要对红黑树分情况来讨论:
含义解析:
cur为当前节点,p为父节点,g为祖父节点,u为叔叔节点
情况一:cur为红色,p为红色,g为黑色,u存在并且为红色
根据上图进行分析:
解析:
这里p与cur都为红色,违反规则,我们不能直接将p的颜色改为黑色,如果直接改为黑色的话,则每条路径的黑色节点数目就变化了,违反规则。
我们应该将p与u变为红色,g变为黑色,如果g是子树,还需向上调整(比如上图中的下面一种情况),如果g是根节点,则需要变回黑色,因为规则里根节点必须为黑色;
代码实现
cpp
//这里是一个while循环,只展示了循环体里面的代码
//情况一:uncle存在并且为红色
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
uncle->_col = BLACK;
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
parent = grandfather; //如果为子树,则继续向上调整
cur = parent;
if (_root == grandfather) //如果g为根节点,则改回黑色
{
grandfather->_col = BLACK;
}
}
情况二:u不存在或则u存在并且为黑色
下面的分类与AVL树的旋转的分类很类似;
分析一 :u不存在/存在且黑色 ,并且p为g的左,c为p的左 或则 p为g的右,c为p的右(p,g,c在一条线上)
当u不存在时:处理方法:单旋+变色
当u存在时:处理方法:也是单旋+变色
总结:
当u存在为黑色或则不存在时,都需要旋转+变色(这里的旋转与上章AVL旋转一样)
如果c为p的左,并且p为g的左,则右旋
如果c为p的右,并且p为g的右,则左旋
变色: 都是p变成黑色,g变为红色
代码实现
cpp
//p为g左,c为p左
if (parent==grandfather->_left && cur==parent->_left)
{
rotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
//p为g右,c为p右
else if (parent == grandfather->_right && cur == parent->_right)
{
rotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
分析三:u不存在或则存在为黑色,但是p为g的左,c为p的右边 或则 p为g的右,c为p的左(p,g,c不在一条线上)
当u不存在时:处理方法:双旋+变色
当u存在时:处理方法:双旋+变色
总结:
当g,p,c不在一条街直线上时,需要双旋+变色处理
旋转方向的判定和AVL树的旋转一样;(上章讲过)
代码实现:
cpp
//一左一右
else if(parent == grandfather->_left && cur == parent->_right)
{
rotateL(parent);
rotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
parent->_col = BLACK;
break;
}
else if (parent == grandfather->_right && cur == parent->_left)
{
rotateR(parent);
rotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
parent->_col = BLACK;
break;
}
插入总代码
cpp
bool insert(pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
}
//找插入点
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv > kv)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv < kv)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
//插入
if (cur == parent->left)
{
cur = new Node(kv);
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
else if (cur == parent->right)
{
cur = new Node(kv);
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
//调节颜色/调节使其满足规则
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = parent->_parent;
if (parent = grandfather->_left)
{
Node* uncle = grandfather->_right;
}
else
{
Node* uncle = grandfather->_left;
}
//情况一:uncle存在并且为红色
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
uncle->_col = BLACK;
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
parent = grandfather; //如果为子树,则继续向上调整
cur = parent;
if (_root == grandfather) //如果g为根节点,则改回黑色
{
grandfather->_col = BLACK;
}
}
//uncle不存在或则存在为黑色
else
{
//p为g左,c为p左
if (parent==grandfather->_left && cur==parent->_left)
{
rotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
break;
}
//p为g右,c为p右
else if (parent == grandfather->_right && cur == parent->_right)
{
rotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
break;
}
//一左一右
else if(parent == grandfather->_left && cur == parent->_right)
{
rotateL(parent);
rotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
parent->_col = BLACK;
break;
}
else if (parent == grandfather->_right && cur == parent->_left)
{
rotateR(parent);
rotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
parent->_col = BLACK;
break;
}
}
}
}
//左单旋
void rotateL(Node* parent)
{
Node* pparent = parent->_parent; //记录所旋转根节点的父亲
Node* pNodeR = parent->_right;
Node* pNodeRL = pNodeR->_left;
if (pNodeRL) //如果该旋转节点的右节点的左孩子存在
parent->_right = pNodeRL;
pNodeR->_left = parent;
//新的父节点的链接
if (parent == _root)
{
_root = pNodeR;
pparent = nullptr;
}
else
{
if (pparent->_left == parent)
{
pparent->_left = pNodeR;
}
else
{
pparent->_right = pNodeR;
}
}
}
//右单旋
void rotateR(Node* parent)
{
Node* pparent = parent->_parent;
Node* pNodeL = parent->_left;
Node* pNodeLR = pNodeL->_right;
if (pNodeLR)
parent->_left = pNodeLR;
pNodeL->_right = parent;
if (parent == _root)
{
_root = pNodeL;
pparent = nullptr;
}
else
{
if (pparent->_left == parent)
{
pparent->_left = pNodeL;
}
else
{
pparent->_right = pNodeL;
}
}
}
5.红黑树与AVL树的比较
红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树,增删改查的时间复杂度都是O( l o g 2 N log_2 N log2N),红黑树不追求绝对平衡,其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍,相对而言,降低了插入和旋转的次数,所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优,而且红黑树实现比较简单,所以实际运用中红黑树更多。