C++红黑树

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文章目录

1.红黑树的概念

红黑树,是一种二叉搜索树,但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色,可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制,红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍,因而是接近平衡的。

2 红黑树的性质

性质:

  1. 每个结点不是红色就是黑色
  2. 根节点是黑色的
  3. 如果一个节点是红色的,则它的两个孩子结点是黑色的
  4. 对于每个结点,从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上,均包含相同数目的黑色结点
  5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

思考:为什么满足上面的性质,红黑树就能保证:其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍?

首先,要满足黑色节点数目相同,则当只有黑色节点的时候,路径最短,因为红色节点不能连续出现,所以当黑色节点与红色节点交替的时候,路径最长,并且为最短的两倍。

3 红黑树节点的定义

cpp 复制代码
enum color                      //颜色
{
	RED,
	BLACK
};
template<class K, class V>
struct AVLNode
{
	AVLNode<K, V>* _left;
	AVLNode<K, V>* _right;
	AVLNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	color _col;                 //记录节点颜色

	AVLNode(pair<K, V>& kv)      
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _col(RED)           //新节点的颜色默认为红色
	{}
};

新插入节点的颜色为红色的原因?

原因:因为红黑树有一条规则,就是每条路径的黑色节点数目相等,插入前每条路径的黑色数目是相等的,但是如果插入的是黑色节点的话,那么该条路径的黑色节点的数目就多了一个,直接违反规则,所以插入新节点为红色节点;

4.红黑树的插入操作(分类详解)

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件,因此红黑树的插入可分为两步:

  1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点
  2. 检测新节点插入后,红黑树的性质是否造到破坏
    因为新节点的默认颜色是红色,因此:如果其双亲节点的颜色是黑色,没有违反红黑树任何性质,则不需要调整;
    但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时,就违反了性质三不能有连在一起的红色节点,此时需要对红黑树分情况来讨论:

含义解析:

cur为当前节点,p为父节点,g为祖父节点,u为叔叔节点

情况一:cur为红色,p为红色,g为黑色,u存在并且为红色

根据上图进行分析:

解析:

这里p与cur都为红色,违反规则,我们不能直接将p的颜色改为黑色,如果直接改为黑色的话,则每条路径的黑色节点数目就变化了,违反规则。

我们应该将p与u变为红色,g变为黑色,如果g是子树,还需向上调整(比如上图中的下面一种情况),如果g是根节点,则需要变回黑色,因为规则里根节点必须为黑色;

代码实现

cpp 复制代码
    //这里是一个while循环,只展示了循环体里面的代码
	//情况一:uncle存在并且为红色
	if (uncle && uncle->_col == RED)
	{
		uncle->_col = BLACK;
		parent->_col = BLACK;
		grandfather->_col = RED;
		parent = grandfather;          //如果为子树,则继续向上调整
		cur = parent; 
		if (_root == grandfather)      //如果g为根节点,则改回黑色
		{
			grandfather->_col = BLACK;
		}
	}

情况二:u不存在或则u存在并且为黑色

下面的分类与AVL树的旋转的分类很类似;

分析一u不存在/存在且黑色并且p为g的左,c为p的左 或则 p为g的右,c为p的右(p,g,c在一条线上)

当u不存在时:处理方法:单旋+变色

当u存在时:处理方法:也是单旋+变色


总结:

当u存在为黑色或则不存在时,都需要旋转+变色(这里的旋转与上章AVL旋转一样)

如果c为p的左,并且p为g的左,则右旋

如果c为p的右,并且p为g的右,则左旋

变色: 都是p变成黑色,g变为红色

代码实现

cpp 复制代码
//p为g左,c为p左
if (parent==grandfather->_left && cur==parent->_left)
{ 
	rotateR(grandfather);
	parent->_col = BLACK;
	grandfather->_col = RED;
}
//p为g右,c为p右
else if (parent == grandfather->_right && cur == parent->_right)
{
	rotateL(grandfather);
	parent->_col = BLACK;
	grandfather->_col = RED;
}

分析三:u不存在或则存在为黑色,但是p为g的左,c为p的右边 或则 p为g的右,c为p的左(p,g,c不在一条线上)

当u不存在时:处理方法:双旋+变色

当u存在时:处理方法:双旋+变色

总结:

当g,p,c不在一条街直线上时,需要双旋+变色处理

旋转方向的判定和AVL树的旋转一样;(上章讲过)

代码实现:

cpp 复制代码
//一左一右
else if(parent == grandfather->_left && cur == parent->_right)
{
	rotateL(parent);
	rotateR(grandfather);
	cur->_col = BLACK;
	parent->_col = BLACK;
	break;
}
else if (parent == grandfather->_right && cur == parent->_left)
{
	rotateR(parent);
	rotateL(grandfather);
	cur->_col = BLACK;
	parent->_col = BLACK;
	break;
}

插入总代码

cpp 复制代码
bool insert(pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		_root->_col = BLACK;
	}
	//找插入点
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv > kv)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (cur->_kv < kv)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	//插入
	if (cur == parent->left)
	{
		cur = new Node(kv);
		parent->_left = cur;
		cur->_parent = parent;
	}
	else if (cur == parent->right)
	{
		cur = new Node(kv);
		parent->_right = cur;
		cur->_parent = parent;
	}

	//调节颜色/调节使其满足规则
	while (parent && parent->_col == RED)
	{
		Node* grandfather = parent->_parent;
		if (parent = grandfather->_left)
		{
			Node* uncle = grandfather->_right;
		}
		else
		{
			Node* uncle = grandfather->_left;
		}
		//情况一:uncle存在并且为红色
		if (uncle && uncle->_col == RED)
		{
			uncle->_col = BLACK;
			parent->_col = BLACK;
			grandfather->_col = RED;
			parent = grandfather;          //如果为子树,则继续向上调整
			cur = parent; 
			if (_root == grandfather)      //如果g为根节点,则改回黑色
			{
				grandfather->_col = BLACK;
			}
		}
		//uncle不存在或则存在为黑色
		else
		{
			//p为g左,c为p左
			if (parent==grandfather->_left && cur==parent->_left)
			{ 
				rotateR(grandfather);
				parent->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;
				break;
			}
			//p为g右,c为p右
			else if (parent == grandfather->_right && cur == parent->_right)
			{
				rotateL(grandfather);
				parent->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;
				break;
			}
			//一左一右
			else if(parent == grandfather->_left && cur == parent->_right)
			{
				rotateL(parent);
				rotateR(grandfather);
				cur->_col = BLACK;
				parent->_col = BLACK;
				break;
			}
			else if (parent == grandfather->_right && cur == parent->_left)
			{
				rotateR(parent);
				rotateL(grandfather);
				cur->_col = BLACK;
				parent->_col = BLACK;
				break;
			}
		}
	}
}
//左单旋
void rotateL(Node* parent)
{
	Node* pparent = parent->_parent;     //记录所旋转根节点的父亲
	Node* pNodeR = parent->_right;
	Node* pNodeRL = pNodeR->_left;
	if (pNodeRL)                         //如果该旋转节点的右节点的左孩子存在
		parent->_right = pNodeRL;
	pNodeR->_left = parent;

	//新的父节点的链接
	if (parent == _root)
	{
		_root = pNodeR;
		pparent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (pparent->_left == parent)
		{
			pparent->_left = pNodeR;
		}
		else
		{
			pparent->_right = pNodeR;
		}
	}
}
//右单旋
void rotateR(Node* parent)
{
	Node* pparent = parent->_parent;

	Node* pNodeL = parent->_left;
	Node* pNodeLR = pNodeL->_right;

	if (pNodeLR)
		parent->_left = pNodeLR;
	pNodeL->_right = parent;

	if (parent == _root)
	{
		_root = pNodeL;
		pparent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (pparent->_left == parent)
		{
			pparent->_left = pNodeL;
		}
		else
		{
			pparent->_right = pNodeL;
		}
	}
}

5.红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树,增删改查的时间复杂度都是O( l o g 2 N log_2 N log2N),红黑树不追求绝对平衡,其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍,相对而言,降低了插入和旋转的次数,所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优,而且红黑树实现比较简单,所以实际运用中红黑树更多。

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