【C++进阶】红黑树的复仇（红与黑的爱恨厮杀）

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所属专栏：c++大冒险

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引言：

之前我们学习了 AVL树，不得不惊叹于他那近乎绝对的平衡，然而也惋惜于插入删除效率的低下，今天要讲的红黑树则是以相对的平衡换来了插入删除效率的大幅提高，可谓是各有千秋

ps：建议先看过AVL树后再来学习红黑树：

带你手撕AVL树

一. 红黑树的概念

红黑树是一种二叉搜索树 ，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或 Black 。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍 ，因而是接近平衡的。

二红黑树的性质

1. 每个结点不是红色就是黑色
1. 根节点是黑色的
1. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
1. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
1. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

思考：
为什么满足以上性质，红黑树就能保证：最长路径中节点个数不会超过最短路径节点 个数的2倍？

推导：

性质1不必多说
性质2与后面的旋转有关
性质3表明不能有连续的红色结点
性质4表明理论最短路径就是纯黑节点路径

综上：

我们可以认为事先建造好一颗纯黑节点的满二叉树，再在两个黑节点之间插入红节点，则理论最长路径就是一黑一红交替，不超过最短路径的二倍。

三.红黑树的节点讲解及模拟

enum Color
{
	RED,
	BLACK
};
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	Color _col;
	RBTreeNode(pair<K, V>& kv = pair<K, V>())
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _col(RED)
};

代码讲解：

1.我们枚举出了Color
2.除左右指针外，还有父亲指针，使得可以向上回溯
3.用pair对象存储K值V值
4.增加了颜色的成员变量，且默认颜色为红色

提问：

为什么结点的颜色初始化为红色呢？

回答：

因为插入新节点时（不为根部），如果插入黑色，一定破坏性质4，导致每条路径黑结点数目不同；而如果插入红色，有可能不会破坏性质3，所以结点初始化为红色。

四.红黑树模拟

4.1 成员变量

template<class K, class V>
class RBTree
{
protected:
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
	//函数
protected :
	Node* _root;
};

4.2插入

与搜索二叉树以及AVL树相比，红黑树的默认成员函数和遍历相差不大，所以这里重点讲插入

4.2.1插入过程：

以普通二叉搜索树的方式进行插入

根据插入后的不同情况进行调整

 bool Insert(pair<K, V>& kv)
 {
 	if (_root == nullptr)
 	{
 		_root = new Node(val);
 		return true;
 	}
 	else
 	{
 		Node* cur = _root;
 		Node* parent = nullptr
 			while (cur)
 			{
 				parent = cur;
 				if (cur->_val > val)
 					cur = cur->left;
 				else if (cur->_val < val)
 					cur = cur->_right;
 				else
 					return false;
 			}
 		cur = new Node(val);
 		if (parent->_val.first > cur->_val.first)
 		{
 			parent->_left = cur;
 		}
 		else
 		{
 			parent->_parent = cur;
 		}
 		cur->_parent = parent;
 		///从此处开始进行插入后的调整
 		while (parent && parent->_col == RED)
 		{
 			Node* grandparent = parent->_parent;
 			Node* uncle = nullptr;
 			if (grandparent->_left == parent)
 				uncle = grandparent->_right;
 			else
 				uncle = grandparent->_left;
 			if (uncle && uncle->_col == RED)
 			{
 				parent->_col = BLACK;
 				uncle->_col = BLACK;
 				grandparent->_col = RED;
 				cur = grandparent;
 				parent = cur->_parent;
 			}
 			else if (grandparent->_left == parent)
 			{
 				if (parent->_left = cur)
 				{
 					RotateR(grandparent);
 					grandparent->_col = RED;
 					parent->_col = BLACK;
 				}
 				else
 				{
 					RotateL(parent);
 					RotateR(grandparent);
 					grandparent->_col = RED;
 					cur->_col = BLACK;
 				}
 			}
 			else
 			{
 				if (parent->_right = cur)
 				{
 					RotateL(grandparent);
 					grandparent->_col = RED;
 					parent->_col = BLACK;
 				}
 				else
 				{
 					RotateR(parent);
 					RotateL(grandparent);
 					grandparent->_col = RED;
 					cur->_col = BLACK;
 				}
 			}
 			void RotateL(AVLNode * parent)//左旋
 			{
 				Node* grandparent = parent->_parent;
 				Node* ChildR = parent->_right;
 				if (grandparent)
 				{
 					if (grandparent->_left == parent)
 						grandparent->_left = ChildR;
 					else
 						grandparent->_right = ChildR;
 				}
 				else
 					_root = ChildR;
 				ChildR->_parent = grandparent;
 				parent->_right = ChildR->_left;
 				ChildR->_left->_parent = parent;
 				ChildR->_left = parent;
 				parent->_parent = ChildR;
 				ChildR->_bf = parent->_bf = 0;
 			}
 			void RotateR(AVLNode * parent)//右旋
 			{
 				Node* grandparent = parent->_parent;
 				Node* ChildL = parent->_left;
 				if (grandparent)
 				{
 					if (grandparent->_left == parent)
 						grandparent->_left = ChildL;
 					else
 						grandparent->_right = ChildL;
 				}
 				else
 					_root = ChildL;
 				ChildL->_parent = grandparent;
 				//两两一组进行改变
 				parent->_left = ChildL->_right;
 				ChildL->_right->_parent = parent;

 				ChildL->_right = parent;
 				parent->_parent = ChildL;//
 				ChildL->_bf = parent->_bf = 0;
 			}
 			void RotateRL(AVLNode * parent)//双旋，先右旋在左旋
 			{
 				Node* ChildR = parent->_right;
 				int bf = ChildR->_left->_bf;
 				RotateR(ChildR);
 				RotateL(parent);
 				if (bf == 0)
 				{
 					parent->_bf = 0;
 					ChildR->_bf = 0;
 					ChildR->_left->_bf = 0;
 				}
 				else if (bf == 1)
 				{
 					parent->_bf = -1;
 					ChildR->_bf = 0;
 					ChildR->_left->_bf = 0;
 				}
 				else if (bf == -1)
 				{
 					parent->_bf = 0;
 					ChildR->_left->_bf = 0;
 					ChildR->_bf = 1;
 				}
 				else
 				{
 					assert(false);
 				}
 			}
 			void RotateLR(AVLNode * parent)//双旋，先左旋，再右旋
 			{
 				Node* ChildL = parent->_left;
 				int bf = ChildL->_right->_bf;
 				RotateR(ChildL);
 				RotateL(parent);
 				if (bf == 0)
 				{
 					parent->_bf = 0;
 					ChildL->_bf = 0;
 					ChildL->_right->_bf = 0;
 				}
 				else if (bf == 1)
 				{
 					parent->_bf = 0;
 					ChildL->_bf = -1;
 					ChildL->_right->_bf = 0;
 				}
 				else if (bf == -1)
 				{
 					parent->_bf = 1;
 					ChildL->_right->_bf = 0;
 					ChildL->_bf = 0;
 				}
 				else
 				{
 					assert(false);
 				}
 			}
 			void Inorde(AVLNode * root, vector<pair<K, V>>&v)
 			{
 				if (root == nullptr)
 					return;
 				Inorde(root->_left, v);
 				v.push_back(root->_val);
 				Inorde(root->_right, v);
 			}
 		}

 	}
 }

插入后调整的分析：

1.像AVL树一样，大框架也是向上回溯，判断循环进行条件是父亲节点不为空且父亲节点颜色为红，.因为新节点的默认颜色是红色 ，如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；
2当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

🍒🍒4.2.2情况一：

cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红
解决方式：
将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。

🍒🍒4.2.3情况二：

cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑，p是g的左孩子，cur是p的左孩子

解决方案：

先对grandparent进行右单旋
再将parent变黑，grandparent变红

🍒🍒4.2.4情况三

cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑，p是g的左孩子，cur是p的右孩子

重点提醒：

可以发现左单旋后就变成了情况二

解决方案：

先对parent进行左单旋
再对grandparent进行右单旋
最后将cur变黑，grandparent变红，这里将cur变黑而不是parent是因为左单旋后cur取代了parent的位置

🍒🍒4.2.5情况四：

cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑，p是g的右孩子，cur是p的右孩子

解决方案：

先对grandparent进行左单旋
再将parent变黑，grandparent变红

🍒🍒4.2.6情况五：

cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑，p是g的右孩子，cur是p的左孩子

重点提醒：

可以发现右单旋后就变成了情况四

解决方案：

先对parent进行右单旋
再对grandparent进行左单旋
最后将cur变黑，grandparent变红，这里将cur变黑而不是parent是因为左单旋后cur取代了parent的位置

5.红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)

void Inorde(AVLNode * root, vector<pair<K, V>>&v)
{
				if (root == nullptr)
					return;
				Inorde(root->_left, v);
				v.push_back(root->_val);
				Inorde(root->_right, v);
}

2. 检测其是否满足红黑树的性质

bool IsBalance(Node*root)
{
	//空树也是红黑树
	if (root == nullptr)
		return true;
	//违反性质2
	if (root->_col == RED)

	{
		cout << "树的根节点应该是黑色，可该树却是红色" << endl;
		return false;
	}
	//计算一条路径黑节点数量
	Node* cur = root;
	int num = 0;
	while (cur)
	{
		if (cur->_col == BLACK)
			num++;
		cur = cur->_left;
	}
	return _IsBlance(root, num);
}
IsBalance(Node* root, size_t num, size_t cur_num)
{
	if (root == nullptr)
	{
		//违反性质4
		if (num != cur_num)
		{
			cout << "对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点，但该树却不是" << endl
				return false;
		}
		else
		return true;
	}
	if (root->_col == BLACK)
		num++;
	//违反性质3
	if (root->_parent && root->_parent == RED && root->_col == RED)
	{
		cout << "如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的,可该树却出现了连续的红色节点" << endl;
		return false;
	}
	return IsBalance(root->_left, num, cur_num) && IsBalance(root->_right, num, cur_num);
}

6. 红黑树与AVL树的比较

红黑树和 AVL 树都是高效的平衡二叉树， 增删改查的时间复杂度都是O(log N) ，红黑树不追 求绝对平衡，其只需保证 最长路径不超过最短路径的2倍 ， 降低了插入和旋转的次数 ， 所以在经常进行增删的结构中性能比 AVL 树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红 黑树更多。

7. 红黑树的应用

1. C++ STL库 -- map/set、mutil_map/mutil_set
1. Java 库
1. linux内核
1. 其他一些库

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一. 红黑树的概念

二 红黑树的性质

三.红黑树的节点讲解及模拟

四.红黑树模拟

4.1 成员变量

4.2插入

4.2.1插入过程：

插入后调整的分析：

🍒🍒4.2.2情况一：

🍒🍒4.2.3情况二：

🍒🍒4.2.4情况三

🍒🍒4.2.5情况四：

🍒🍒4.2.6情况五：

5.红黑树的验证

1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)

2. 检测其是否满足红黑树的性质

6. 红黑树与AVL树的比较

7. 红黑树的应用

二红黑树的性质