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一、最大公约数和最小公倍数
文章链接：最大公约数和最小公倍数
二、素数判断
文章链接：在Java中判断素数
三、同余
同余是一个数学概念，它描述了两个数在某个特定的模下具有相同的余数。在数学中，我们使用符号"≡"来表示同余关系。具体来说，对于给定的整数a、b和正整数m，如果a与b除以m得到的余数相等，即(a mod m) = (b mod m)，我们就说a与b在模m下是同余的。
四、唯一分解定理
该定理表明，每个大于1的自然数都可以被唯一地表示为质数的乘积。
具体来说，唯一分解定理可以表述为：任何一个大于1的自然数n，都可以写成质数的乘积形式，即n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak，其中p1, p2, ..., pk为质数，a1, a2, ..., ak为正整数，并且这种表示方式是唯一的，即如果将n分解成不同的质数乘积形式，那么这些质数和指数也是唯一确定的。
例如，对于自然数12，它可以被分解为2^2 * 3^1，其中2和3都是质数，指数分别为2和1。而这种分解方式是唯一的，即12不能被表示为其他质数乘积的形式。
javaimport java.util.ArrayList; import java.util.Arrays; import java.util.List; import java.util.Scanner; public class Main { static class node{ int a,b;//a的b次方 node(int a,int b){ this.a=a; this.b=b; } } public static void main(String[] args){ Scanner scanner=new Scanner(System.in); int n=scanner.nextInt();//输入的数，输出是由多个质数的次方的乘积 int t=n; ArrayList<node> e=new ArrayList<>(); for(int i=2;i<=n/i;i++){ if(n%i==0){ int ans=0; while(n%i==0){ ans++; n/=i; } e.add(new node(i,ans)); } } if(n>1){ e.add(new node(n,1)); } System.out.print(t+"="); for(int i=0;i<e.size();i++){ if(i==e.size()-1){ System.out.print(e.get(i).a+"^"+e.get(i).b); break; } System.out.print(e.get(i).a+"^"+e.get(i).b+"+"); } } }
五、约数个数定理
约数个数定理是数论中的一个重要定理，它给出了一个正整数的约数个数与其质因数分解有关的关系。具体来说，如果一个正整数n可以分解为质数的乘积，即n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak，其中p1、p2、...、pk为不同的质数，a1、a2、...、ak为正整数，则n的约数个数可以通过以下公式计算：
约数个数 = (a1 + 1) * (a2 + 1) * ... * (ak + 1)
其中，(a1 + 1)、(a2 + 1)、...、(ak + 1)分别表示每个质因数的指数加1后的值。
例如，对于正整数12，它可以分解为2^2 * 3^1，因此它的约数个数为(2+1) * (1+1) = 6。它的约数包括1、2、3、4、6和12。
六、约数和定理
通过某一个数字的唯一分解定理，可以推出约数和定理。约数和定理是指对于任意一个正整数n，它的所有约数的个数可以通过对n进行唯一分解后的指数加1的乘积来计算。
具体来说，如果将正整数n进行唯一分解，得到其质因数分解式为： n = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ... * pk^ak 其中，p1, p2, p3, ..., pk为不同的质数，a1, a2, a3, ..., ak为对应的指数。
根据唯一分解定理，n的所有约数可以通过对指数进行组合得到。对于每个质因数pi，它的指数ai可以取0到ai之间的任意整数，这样就可以得到ai+1个选择。因此，n的所有约数的个数为(a1+1) * (a2+1) * (a3+1) * ... * (ak+1)。
以20为例，将20进行唯一分解得到其质因数分解式为： 20 = 2^2 * 5^1 其中，2和5为不同的质数，指数分别为2和1。
根据约数和定理，20的所有约数的个数为(2+1) * (1+1) = 6。即20的约数有6个，分别为1、2、4、5、10和20。
也就是：
（1）2^0*5^0=1
（2）2^0*5^1=5
（3）2^1*5^0=2
（4） 2^1*5^1=10
（5） 2^2*5^0=4
（6）2^2*5^1=20
五、快速幂
文章链接：快速幂（Java实现）
六、费马小定理
费马小定理是数论中的一个重要定理，它描述了在模运算下的一种特殊性质。具体来说，费马小定理表明，如果p是一个质数，a是任意整数且不是p的倍数，那么a的p-1次方除以p的余数等于1。
数学表达式为：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)------>（a^(p-1)）%p=1（简单来说）
这里的"≡"表示模运算下的等价关系，即两个数除以p的余数相等。
举个例子来说明，假设p=7，a=3，根据费马小定理，我们可以计算3^6除以7的余数。计算过程如下：
3^6 = 729 729 ÷ 7 = 104 余 1
因此，根据费马小定理，3^6除以7的余数等于1。
七、逆元
逆元是数论中的一个重要概念，它指的是在模运算下，对于给定的整数a和模数m，存在一个整数b，使得(a * b) % m = 1。其中，a称为原元，b称为a的逆元。
举个例子来说明逆元的概念。假设我们要求解在模7下的逆元，即找到一个整数b，使得(a * b) % 7 = 1。如果我们取a = 3，那么可以发现3 * 5 = 15，15除以7的余数为1，所以5就是3在模7下的逆元。因此，5是3的逆元。