【力扣 Hot100 | 第三天】4.12（寻找两个正序数组的中位数）

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3.寻找两个正序数组的中位数

3.寻找两个正序数组的中位数

3.1题目

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。

算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。

示例一：

输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2

3.2解法：暴力（归并排序）

题目既然给出了两个正序数组，我们可以将这两个正序数组合成为一个正序的数组
判断合成后的数组的长度为奇数还是偶数，进而求出中位数
归并排序的时间复杂度为 O(m+n)、空间复杂度为 O(m+n)

java 复制代码

class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int len1 = nums1.length;
        int len2 = nums2.length;
        // 合成的数组
        int[] res = new int[len1+len2];
        int index = 0;
        int left = 0, right = 0;
        
        // 归并排序合成部分
        while(left<len1&&right<len2) {
            if(nums1[left]<nums2[right]) {
                res[index++] = nums1[left++];
            } else {
                res[index++] = nums2[right++];
            }
        }
        // 判断nums1剩余还是nums2剩余，并将剩余部分加入到合成的数组之后
        while(left<len1) {
            res[index++] = nums1[left++];
        }
        while(right<len2) {
            res[index++] = nums2[right++];
        }
        // 判断合成后的数组的长度，求出中位数。返回的是double类型
        if((len1+len2)%2==1) {
            return (double) res[(len1+len2)/2];
        } else {
            return (double) (res[(len1+len2)/2]+res[(len1+len2)/2-1])/2;
        }
    }
}

3.3解法：二分法

暴力解法对于本题来说不满足时间复杂度，要求时间复杂度为O(log(m+n))，所以自然想到了二分法。
理解：
1. 两个数组长度为奇数，则中位数即为第 (m+n)/2+1 小元素；
2. 两个数组长度为偶数，则中位数即为第 (m+n)/2 小元素和第 (m+n)/2+1 小元素；
归纳：如何求出两个数组中第k小的元素？
1. 首先需要找到第一个数组中的k/2位置、第二个数组的k/2位置；
2. 如果 nums1 $k/2$ < nums2 $k/2$ ，则 nums1 $k/2$ 及其前面的元素均不是第k小，所以我们应该从 nums1 $k/2+1$ 到末尾，以及nums2中查找
  1. why？
  2. 理由：比nums1 $k/2$ 小的数字有 k/2-1个，比nums2 $k/2$ 小的数字有 k/2-1个；
    
    又又 nums1 $k/2$ < nums2 $k/2$
    
    即比nums2 $k/2$ 小的数字最小有（k/2-1）+（k/2-1）+1= k-1个
    
    即nums1 $k/2$ 最多是第k-1个数，它及其前面的肯定不是第k个数，所以需要去掉
3. 如果 nums1 $k/2$ > nums2 $k/2$ ，则 nums2 $k/2$ 及其后面的元素均不是第k小，所以我们应该从 nums1 以及 nums2 $k/2+1$ 到末尾中查找
例子：

java 复制代码

public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
    int n = nums1.length;
    int m = nums2.length;
    int left = (n + m + 1) / 2;
    int right = (n + m + 2) / 2;
    //将偶数和奇数的情况合并，如果是奇数，会求两次同样的 k 。
    return (getKth(nums1, 0, n - 1, nums2, 0, m - 1, left) + getKth(nums1, 0, n - 1, nums2, 0, m - 1, right)) * 0.5;  
}
    
private int getKth(int[] nums1, int start1, int end1, int[] nums2, int start2, int end2, int k) {
    int len1 = end1 - start1 + 1;
    int len2 = end2 - start2 + 1;
    //让 len1 的长度小于 len2，这样就能保证如果有数组空了，一定是 len1 
    if (len1 > len2) return getKth(nums2, start2, end2, nums1, start1, end1, k);
    if (len1 == 0) return nums2[start2 + k - 1];

    if (k == 1) return Math.min(nums1[start1], nums2[start2]);

    int i = start1 + Math.min(len1, k / 2) - 1;
    int j = start2 + Math.min(len2, k / 2) - 1;

    if (nums1[i] > nums2[j]) {
        return getKth(nums1, start1, end1, nums2, j + 1, end2, k - (j - start2 + 1));
    }
    else {
        return getKth(nums1, i + 1, end1, nums2, start2, end2, k - (i - start1 + 1));
    }
}