【力扣 Hot100 | 第三天】4.12(寻找两个正序数组的中位数)

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3.寻找两个正序数组的中位数

3.1题目

给定两个大小分别为 mn 的正序(从小到大)数组 nums1nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数

算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n))

  • 示例一:

    输入:nums1 = [1,3], nums2 = [2]
    输出:2.00000
    解释:合并数组 = [1,2,3] ,中位数 2

3.2解法:暴力(归并排序)

  • 题目既然给出了两个正序数组,我们可以将这两个正序数组合成为一个正序的数组
  • 判断合成后的数组的长度为奇数还是偶数,进而求出中位数
  • 归并排序的时间复杂度为 O(m+n)、空间复杂度为 O(m+n)
java 复制代码
class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int len1 = nums1.length;
        int len2 = nums2.length;
        // 合成的数组
        int[] res = new int[len1+len2];
        int index = 0;
        int left = 0, right = 0;
        
        // 归并排序合成部分
        while(left<len1&&right<len2) {
            if(nums1[left]<nums2[right]) {
                res[index++] = nums1[left++];
            } else {
                res[index++] = nums2[right++];
            }
        }
        // 判断nums1剩余还是nums2剩余,并将剩余部分加入到合成的数组之后
        while(left<len1) {
            res[index++] = nums1[left++];
        }
        while(right<len2) {
            res[index++] = nums2[right++];
        }
        // 判断合成后的数组的长度,求出中位数。返回的是double类型
        if((len1+len2)%2==1) {
            return (double) res[(len1+len2)/2];
        } else {
            return (double) (res[(len1+len2)/2]+res[(len1+len2)/2-1])/2;
        }
    }
}

3.3解法:二分法

  1. 暴力解法对于本题来说不满足时间复杂度,要求时间复杂度为O(log(m+n)),所以自然想到了二分法。

  2. 理解:

    1. 两个数组长度为奇数,则中位数即为第 (m+n)/2+1 小 元素;
    2. 两个数组长度为偶数,则中位数即为第 (m+n)/2 小元素 和 第 (m+n)/2+1 小元素;
  3. 归纳:如何求出两个数组中第k小的元素?

    1. 首先需要找到 第一个数组中的k/2位置、第二个数组的k/2位置;

    2. 如果 nums1[k/2] < nums2[k/2] ,则 nums1[k/2]及其前面的元素均不是第k小,所以我们应该从 nums1[k/2+1] 到末尾,以及nums2中查找

      1. why?

      2. 理由:比nums1[k/2]小的数字有 k/2-1个,比nums2[k/2]小的数字有 k/2-1个;

        又又 nums1[k/2] < nums2[k/2]

        即 比nums2[k/2]小的数字最小有 (k/2-1)+(k/2-1)+1= k-1个

        即nums1[k/2]最多是第k-1个数,它及其前面的肯定不是第k个数,所以需要去掉

    3. 如果 nums1[k/2] > nums2[k/2],则 nums2[k/2]及其后面的元素均不是第k小,所以我们应该从 nums1 以及 nums2[k/2+1]到末尾中查找

  4. 例子:

java 复制代码
public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
    int n = nums1.length;
    int m = nums2.length;
    int left = (n + m + 1) / 2;
    int right = (n + m + 2) / 2;
    //将偶数和奇数的情况合并,如果是奇数,会求两次同样的 k 。
    return (getKth(nums1, 0, n - 1, nums2, 0, m - 1, left) + getKth(nums1, 0, n - 1, nums2, 0, m - 1, right)) * 0.5;  
}
    
private int getKth(int[] nums1, int start1, int end1, int[] nums2, int start2, int end2, int k) {
    int len1 = end1 - start1 + 1;
    int len2 = end2 - start2 + 1;
    //让 len1 的长度小于 len2,这样就能保证如果有数组空了,一定是 len1 
    if (len1 > len2) return getKth(nums2, start2, end2, nums1, start1, end1, k);
    if (len1 == 0) return nums2[start2 + k - 1];

    if (k == 1) return Math.min(nums1[start1], nums2[start2]);

    int i = start1 + Math.min(len1, k / 2) - 1;
    int j = start2 + Math.min(len2, k / 2) - 1;

    if (nums1[i] > nums2[j]) {
        return getKth(nums1, start1, end1, nums2, j + 1, end2, k - (j - start2 + 1));
    }
    else {
        return getKth(nums1, i + 1, end1, nums2, start2, end2, k - (i - start1 + 1));
    }
}
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