数据结构之二叉树

南风与鱼2024-04-13 20:30

一、树概念及结构

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

  • 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。
  • 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
  • 因此，树是递归定义的。

🌻注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

1.2 树的相关概念

  1. 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
  2. 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
  3. 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
  4. 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
  5. 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子
  6. 兄弟节点（亲兄弟）：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
  7. 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
  8. 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
  9. 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
  10. 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
  11. 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
  12. 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
  13. 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

1.3 树的表示

树结构相对线性表比较复杂，要存储表示起来也就比较麻烦，既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

cpp 复制代码 
//左孩子右兄弟表示法
typedef int DataType;

struct TreeNode
{
    struct TreeNode* leftChild; // 第一个孩子结点
    struct TreeNode* rightBrother; // 指向其下一个兄弟结点
    DataType data; // 结点中的数据域
};

1.4树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

二、二叉树概念及结构

2.1 概念

二叉树是一个特殊的树，度最大为2。一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

  1. 或者为空
  2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

  1. 二叉树不存在度大于2的结点
  2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 现实中的二叉树

2.3 特殊的二叉树

1.满二叉树：（每一层都是满的）一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k - 1 ，则它就是满二叉树。

  1. 完全二叉树 ：（前k-1层是满的，最后一层不一定满，但是从左到右必须连续）完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.4 二叉树的性质

  1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点。

  2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h - 1。

  3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2,则有n0 ＝n2 ＋1。

  4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log2(n+1) (ps：log2(n+1) 是log以2为底，n+1为对数)。

  5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

  • 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点。
  • 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子。
  • 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子。

2.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构

2.5.1 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费，而现实中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2.5.2 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链。

cpp 复制代码 
typedef int BTDataType;

// 二叉链
struct BinTreeNode
{
    struct BinTreeNode* pLeft; // 指向当前节点左孩子
    struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType data; // 当前节点值域
}；

// 三叉链
struct BinTreeNode
{
    struct BinTreeNode* pParent; // 指向当前节点的双亲
    struct BinTreeNode* pLeft; // 指向当前节点左孩子
    struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType data; // 当前节点值域
}；

三、二叉树的顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

3.2 堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合k = {k0, k1, k2, ......, kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足：Ki <= K2*i+1 且 Ki <= K2*i+2 (Ki >= K2*i+1且 Ki >= K2*i+2) i = 0，1，2......,则称为小堆（或大堆）。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

  • 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
  • 堆总是一棵完全二叉树。

3.3 堆的实现

3.3.1 堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们可以通过从根节点开始的向下调整算法把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

cpp 复制代码 
int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

3.3.2 堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，那我们该怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

cpp 复制代码 
int a[] = {1,5,3,8,7,6};

3.3.3 向下调整建堆的时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：

3.3.4 堆的初始化

cpp 复制代码 
void HeapInit(Heap* php)
{
	assert(php);

	php->arr = NULL;
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
}

3.3.5 堆的销毁

cpp 复制代码 
void HeapDestroy(Heap* php)
{
	assert(php);

	free(php->arr);
	php->arr = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

3.3.6 堆的插入

将要插入的数放到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。插入时我们只需要把要插入的数和它的父亲（即**(parent-1) / 2**）相比较，不需要比较兄弟的大小。这里需要清楚，逻辑上我们操作的是树，物理上我们操作的是数组。

cpp 复制代码 
void HeapPush(Heap* php, HPDataType x)
{
	assert(php);

	//如果空间不够就扩容
	if (php->size == php->capacity)
	{
		int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->arr, sizeof(HPDataType) * newCapacity);
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			exit(-1);
		}
		php->arr = tmp;
		php->capacity = newCapacity;
	}

	php->arr[php->size] = x;
	php->size++;

	AdjustUp(php->arr, php->size - 1);
}

3.3.7 向上调整算法

先找到它的父亲：**parent = (child - 1) / 2，**如果要插入的值比父亲小，就向上交换，交换完了后，再向上找它的父亲进行比较。如果要插入的值比父亲大，就跳出循环。这儿使循环继续的条件是 child>0，因为当孩子走到0的时候，它此时就没有父亲了。

cpp 复制代码 
//交换父亲和孩子的值
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* arr, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (arr[child] < arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			child = parent;
			parent = (parent - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

3.3.8 堆的删除

  1. 堆规定删除的是堆顶的数据，即根节点。因为这儿删除尾部的值没有任何意义。
  2. 删除根节点时我们也不能用以前的方法，比如挪动覆盖啥的，因为这样不仅会很麻烦，而且它们的父子关系就全乱了。
  3. 所以这儿在删除时我们需要先将根节点的值和尾部的值进行交换，然后在进行尾删。尾删完后我们会发现，它的左子树和右子树都没有被破坏，这时我们就可以用向下调整算法，将它调整成我们想要的堆。
cpp 复制代码 
//删除
void HeapPop(Heap* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	//首尾交换、删除
	Swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size - 1]);
	php->size--;

	//向下调整
	AdjustDown(php->arr, php->size, 0);
}

3.3.9 向下调整算法

向下调整要先找到左右孩子中较小的那个孩子，我们可以用假设法，先默认左边的孩子为最小值，如果右边的孩子比左边的孩子还要小，我们就将最小值更新为右边的孩子。这儿循环继续的条件是child < size，因为如果child >= size 就说明child超出了数组的范围，也就是说遇到了最坏的情况，父亲走到了叶子节点。

cpp 复制代码 
//向下调整算法
void AdjustDown(HPDataType* arr, int size, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;

	while (child < size)
	{
		//先假设左孩子小，如果假设错了，就更新一下
		if (child + 1 < size && arr[child + 1] < arr[child])
		{
			++child;
		}

		if (arr[child] < arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

3.3.10 获取堆顶的数据

cpp 复制代码 
HPDataType HeapTop(Heap* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	return php->arr[0];
}

3.3.11 堆的数据个数

cpp 复制代码 
size_t HeapSize(Heap* php)
{
	assert(php);

	return php->size;
}

3.3.12 堆的判空

cpp 复制代码 
bool HeapEmpty(Heap* php)
{
	assert(php);

	return php->size == 0;
}

3.4 源码

🌴heap.h

cpp 复制代码 
#pragma once
#include <stdio.h>
#include <assert.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>

typedef int HPDataType;

typedef struct Heap
{
	HPDataType* arr;
	int size;
	int capacity;
}Heap;

//初始化
void HeapInit(Heap* php);
//销毁
void HeapDestroy(Heap* php);
//插入
void HeapPush(Heap* php, HPDataType x);
//删除
void HeapPop(Heap* php);
//取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* php);
//堆的数据个数
size_t HeapSize(Heap* php);
//堆的判空
bool HeapEmpty(Heap* php);

🌴heap.c

cpp 复制代码 
#include "heap.h"

//初始化
void HeapInit(Heap* php)
{
	assert(php);

	php->arr = NULL;
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
}

//销毁
void HeapDestroy(Heap* php)
{
	assert(php);

	free(php->arr);
	php->arr = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

//交换父亲和孩子的值
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* arr, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (arr[child] < arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			child = parent;
			parent = (parent - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

//插入
void HeapPush(Heap* php, HPDataType x)
{
	assert(php);

	//如果空间不够就扩容
	if (php->size == php->capacity)
	{
		int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->arr, sizeof(HPDataType) * newCapacity);
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			exit(-1);
		}
		php->arr = tmp;
		php->capacity = newCapacity;
	}

	php->arr[php->size] = x;
	php->size++;

	AdjustUp(php->arr, php->size - 1);
}

//向下调整算法
void AdjustDown(HPDataType* arr, int size, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;

	while (child < size)
	{
		//先假设左孩子小，如果假设错了，就更新一下
		if (child + 1 < size && arr[child + 1] < arr[child])
		{
			++child;
		}

		if (arr[child] < arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

//删除
void HeapPop(Heap* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	//首尾交换、删除
	Swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size - 1]);
	php->size--;

	//向下调整
	AdjustDown(php->arr, php->size, 0);
}

//取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	return php->arr[0];
}

//堆的数据个数
size_t HeapSize(Heap* php)
{
	assert(php);

	return php->size;
}

//堆的判空
bool HeapEmpty(Heap* php)
{
	assert(php);

	return php->size == 0;
}

🌴test.c

cpp 复制代码 
#include "heap.h"

int main()
{
	int a[] = { 1,3,5,7,2,4,6,8 };
	Heap hp;
	HeapInit(&hp);
	for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); i++)
	{
		HeapPush(&hp, a[i]);
	}

	//取最小的5个数
	int k = 5;
	while (k--)
	{
		printf("%d ", HeapTop(&hp));
		HeapPop(&hp);
	}

	//升序
	while (!HeapEmpty(&hp))
	{
		printf("%d ", HeapTop(&hp));
		HeapPop(&hp);
	}
	printf("\n");

	return 0;
}

3.5 堆的应用

3.5.1 堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆

  • 升序：建大堆
  • 降序：建小堆

2.利用堆删除思想来进行排序

  • 建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。
cpp 复制代码 
//交换父亲和孩子的值
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

//向上调整算法
void AdjustUp(HPDataType* arr, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (arr[child] > arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			child = parent;
			parent = (parent - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

//向下调整算法
void AdjustDown(HPDataType* arr, int size, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;

	while (child < size)
	{
		//先假设左孩子小，如果假设错了，就更新一下
		if (child + 1 < size && arr[child + 1] > arr[child])
		{
			++child;
		}

		if (arr[child] > arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

//升序
void HeapSort(int* a, int n)
{
	//建大堆
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		AdjustUp(a, i);
	}
	//end是最后一个数据的下标
	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);
		AdjustDown(a, end, 0);
		--end;
	}
}

int main()
{
	int arr[] = { 20, 17, 4, 16, 5, 3 };
	HeapSort(arr, sizeof(arr) / sizeof(int));
	for (int i = 0; i < sizeof(arr) / sizeof(int); i++)
	{
		printf("%d ", arr[i]);
	}
	printf("\n");

	return 0;
}

3.5.2 TOP-K问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆

  • 前k个最大的元素，则建小堆
  • 前k个最小的元素，则建大堆

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

  • 将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。
cpp 复制代码 
void CreatData()
{
	//造数据
	int n = 10000000;
	srand((unsigned int)time(0));
	const char* file = "data.txt";
	FILE* fin = fopen(file, "w");
	if (fin == NULL)
	{
		perror("fopen error");
		return;
	}
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		int x = (rand() + i) % 10000000;
		fprintf(fin, "%d\n", x);
	}

	fclose(fin);
}

void PrintTopK(const char* file, int k)
{
	FILE* fout = fopen(file, "r");
	if (fout == NULL)
	{
		perror("fopen error");
		return;
	}
	//建一个k个数的小堆
	int* minheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
	if (minheap == NULL)
	{
		perror("malloc error");
		return;
	}

	//读取前k个数，并建小堆
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		fscanf(fout, "%d", &minheap[i]);
		AdjustUp(minheap, i);
	}

	int x = 0;
	while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF)
	{
		if (x > minheap[0])
		{
			minheap[0] = x;
			AdjustDown(minheap, k, 0);
		}
	}

	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		printf("%d ", minheap[i]);
	}
	printf("\n");

	free(minheap);

	fclose(fout);
}

int main()
{
	CreatData();
	PrintTopK("data.txt", 5);
	return 0;
}

四、二叉树的链式结构及实现

4.1 二叉树的遍历

4.1.1 前序、中序以及后序遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

按照规则，二叉树的遍历有：前序、中序以及后序的递归结构遍历：

  1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)------访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前，即：根 左子树 右子树。
  2. 中序遍历(Inorder Traversal)------访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间），即 左子树 根 右子树。
  3. 后序遍历(Postorder Traversal)------访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后，即： 左子树 右子树 根。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

下面博主分析一下前序递归遍历，中序与后序图解类似，大家可以自己动手绘制。

🌻前序遍历递归图解：

这儿为了方便理解，我们遍历的时候将空也打印出来：

  • 前序遍历结果： 1 2 3 N N N 4 5 N N 6 N N
  • **中序遍历结果：**N 3 N 2 N 1 N 5 N 4 N 6 N
  • **后序遍历结果：**N N 3 N 2 N N 5 N N 6 4 1

4.2.2 层序遍历

**层序遍历：**除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

4.2 链式结构的实现

4.2.1 创建树的单个节点

cpp 复制代码 
TreeNode* BuyTreeNode(BTDataType x)
{
	TreeNode* node = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));
	assert(node);

	node->data = x;
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;

	return node;
}

4.2.2 创建一棵树

cpp 复制代码 
//创建一棵树
TreeNode* CreateTree()
{
	TreeNode* node1 = BuyTreeNode(1);
	TreeNode* node2 = BuyTreeNode(2);
	TreeNode* node3 = BuyTreeNode(3);
	TreeNode* node4 = BuyTreeNode(4);
	TreeNode* node5 = BuyTreeNode(5);
	TreeNode* node6 = BuyTreeNode(6);

	node1->left = node2;
	node1->right = node4;
	node2->left = node3;
	node4->left = node5;
	node4->right = node6;

	return node1;
}

4.2.3 前序遍历

cpp 复制代码 
//前序遍历
void PrevOrder(TreeNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}
	printf("%d ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}

4.2.4 中序遍历

cpp 复制代码 
//中序遍历
void InOrder(TreeNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}

	InOrder(root->left);
	printf("%d ", root->data);
	InOrder(root->right);
}

4.2.5 后序遍历

cpp 复制代码 
//后序遍历
void PostOrder(TreeNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}

	InOrder(root->left);
	InOrder(root->right);
	printf("%d ", root->data);
}

4.2.6 二叉树节点个数

cpp 复制代码 
int TreeSize(TreeNode* root)
{
	return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}

4.2.7 二叉树叶子节点个数

cpp 复制代码 
int TreeLeafSize(TreeNode* root)
{
	//空 返回0
	if (root == NULL)
		return 0;
	//不是空 是叶子 返回1
	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
		return 1;
	//不是空也不是叶子 分治=左右子树叶子之和
	return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}

4.2.8 二叉树第k层节点个数

cpp 复制代码 
int TreeLevelK(TreeNode* root, BTDataType k)
{
	assert(k > 0);

	//如果为空 返回0
	if (root == NULL)
		return 0;
	//如果不为空 且k等于1 返回1
	if (k == 1)
		return 1;
	//不为空 且k大于1 返回左子树的k-1层+右子树的k-1层
	return TreeLevelK(root->left, k - 1) + TreeLevelK(root->right, k - 1);
}

4.2.9 二叉树高度

cpp 复制代码 
int TreeHeight(TreeNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;

	int leftheight = TreeHeight(root->left);
	int rightheight = TreeHeight(root->right);

	return leftheight > rightheight ? leftheight + 1 : rightheight + 1;
}

4.2.10 二叉树查找值为x的节点

cpp 复制代码 
TreeNode* TreeFind(TreeNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)
		return NULL;
	if (root->data == x)
		return root;

	TreeNode* ret1 = TreeFind(root->left, x);
	if (ret1)
		return ret1;

	TreeNode* ret2 = TreeFind(root->right, x);
	if (ret2)
		return ret2;

	return NULL;
}

4.3 源码

🌴binarytree.h

cpp 复制代码 
#pragma once
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>

typedef int BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}TreeNode;

//创建单个节点
TreeNode* BuyTreeNode(BTDataType x);
//创建一棵树
TreeNode* CreateTree();
//前序遍历
void PrevOrder(TreeNode* root);
//中序遍历
void InOrder(TreeNode* root);
//后序遍历
void PostOrder(TreeNode* root);
//节点个数
int TreeSize(TreeNode* root);
//叶子节点个数
int TreeLeafSize(TreeNode* root);
//高度
int TreeHeight(TreeNode* root);
//第k层的节点个数
int TreeLevelK(TreeNode* root, BTDataType k);
//二叉树查找值为x的节点
TreeNode* TreeFind(TreeNode* root, BTDataType x);

🌴binarytree.c

cpp 复制代码 
#include "binarytree.h"

//创建单个节点
TreeNode* BuyTreeNode(BTDataType x)
{
	TreeNode* node = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));
	assert(node);

	node->data = x;
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;

	return node;
}

//创建一棵树
TreeNode* CreateTree()
{
	TreeNode* node1 = BuyTreeNode(1);
	TreeNode* node2 = BuyTreeNode(2);
	TreeNode* node3 = BuyTreeNode(3);
	TreeNode* node4 = BuyTreeNode(4);
	TreeNode* node5 = BuyTreeNode(5);
	TreeNode* node6 = BuyTreeNode(6);

	node1->left = node2;
	node1->right = node4;
	node2->left = node3;
	node4->left = node5;
	node4->right = node6;

	return node1;
}

//前序遍历
void PrevOrder(TreeNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}
	printf("%d ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}

//中序遍历
void InOrder(TreeNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}

	InOrder(root->left);
	printf("%d ", root->data);
	InOrder(root->right);
}

//后序遍历
void PostOrder(TreeNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}

	InOrder(root->left);
	InOrder(root->right);
	printf("%d ", root->data);

}

//节点个数
int TreeSize(TreeNode* root)
{
	return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}

//叶子节点个数
int TreeLeafSize(TreeNode* root)
{
	//空 返回0
	if (root == NULL)
		return 0;
	//不是空 是叶子 返回1
	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
		return 1;
	//不是空也不是叶子 分治=左右子树叶子之和
	return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}

//高度
int TreeHeight(TreeNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;

	int leftheight = TreeHeight(root->left);
	int rightheight = TreeHeight(root->right);

	return leftheight > rightheight ? leftheight + 1 : rightheight + 1;
}

//第k层的节点个数
int TreeLevelK(TreeNode* root, BTDataType k)
{
	assert(k > 0);

	//如果为空 返回0
	if (root == NULL)
		return 0;
	//如果不为空 且k等于1 返回1
	if (k == 1)
		return 1;
	//不为空 且k大于1 返回左子树的k-1层+右子树的k-1层
	return TreeLevelK(root->left, k - 1) + TreeLevelK(root->right, k - 1);
} 

//二叉树查找值为x的节点
TreeNode* TreeFind(TreeNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)
		return NULL;
	if (root->data == x)
		return root;

	TreeNode* ret1 = TreeFind(root->left, x);
	if (ret1)
		return ret1;

	TreeNode* ret2 = TreeFind(root->right, x);
	if (ret2)
		return ret2;

	return NULL;
}

🌴test.c

cpp 复制代码 
#include "binarytree.h"

int main()
{
	TreeNode* root = CreateTree();
	PrevOrder(root);
	printf("\n");

	InOrder(root);
	printf("\n");

	PostOrder(root);
	printf("\n");


	printf("TreeSize：%d\n", TreeSize(root));

	printf("TreeLeafSize：%d\n", TreeLeafSize(root));

	printf("TreeHeight：%d\n", TreeHeight(root));

	printf("TreeLevelK：%d\n", TreeLevelK(root, 3));

	printf("TreeFind：%p\n", TreeFind(root, 4));

	
	return 0;
}

🍂运行结果：

4.4 二叉树的创建和销毁

4.4.1通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树


🌴递归展开图如下：

cpp 复制代码 
TreeNode* TreeCreate(char* a, int* pi)
{
	if (a[*pi] == '#')
	{
		(*pi)++;
		return NULL;
	}
	TreeNode* root = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));
	if (root == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}
	root->data = a[(*pi)++];

	root->left = TreeCreate(a, pi);
	root->right = TreeCreate(a, pi);
	return root;
}

4.4.2 二叉树销毁

二叉树的销毁用后序遍历比较好一些。

cpp 复制代码 
void DestroyTree(TreeNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;

	DestroyTree(root->left);
	DestroyTree(root->right);
	free(root);
}
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