原理与步骤详解
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定义结构体与变量
首先，定义了一个
Point结构体来表示二维平面上的点，包含x和y两个成员变量。在main函数中，我们定义了两个圆心c1和c2，以及对应的半径r1和r2，还有用于存储交点的p1和p2。 -
判断两圆关系
在计算交点之前，我们需要先判断两个圆的位置关系。这可以通过比较两个圆心之间的距离
d与两个圆的半径之和或差来实现。d = ( c 2. x − c 1. x ) 2 + ( c 2. y − c 1. y ) 2 d = \sqrt{(c2.x - c1.x)^2 + (c2.y - c1.y)^2} d=(c2.x−c1.x)2+(c2.y−c1.y)2
如果
d > r1 + r2，说明两个圆相离，没有交点。如果
d < |r1 - r2|，说明一个圆在另一个圆的内部，也没有交点。如果以上两种情况都不满足，说明两个圆可能相交或相切，我们可以继续下一步的计算。
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计算交点
假设两个圆的方程分别为：
( x − c 1. x ) 2 + ( y − c 1. y ) 2 = r 1 2 (x - c1.x)^2 + (y - c1.y)^2 = r1^2 (x−c1.x)2+(y−c1.y)2=r12
( x − c 2. x ) 2 + ( y − c 2. y ) 2 = r 2 2 (x - c2.x)^2 + (y - c2.y)^2 = r2^2 (x−c2.x)2+(y−c2.y)2=r22将两个圆的方程相减，可以消去二次项，得到一个线性方程。这个线性方程表示两个圆的公共弦（如果相交的话）。
通过代数变换，我们可以得到公共弦所在直线的斜率和截距，进而确定直线方程。然后，将这条直线方程与其中一个圆的方程联立，解出交点的坐标。
但是，直接联立解方程比较复杂。代码中采用了一种更简洁的方法：利用几何关系求解。
首先，通过圆心距
d和半径r1、r2，我们可以计算出一个中间变量a，它表示从圆心c1到交点所在直线的垂线段长度。a = r 1 2 − r 2 2 + d 2 2 d a = \frac{r1^2 - r2^2 + d^2}{2d} a=2dr12−r22+d2
然后，利用勾股定理计算出垂足到交点的距离
h：h = r 1 2 − a 2 h = \sqrt{r1^2 - a^2} h=r12−a2
接下来，我们需要确定交点的具体位置。这可以通过在直线（公共弦）上沿垂线的方向移动距离
h来实现。为了得到这条直线的方向，我们可以利用两个圆心的连线与x轴的夹角来计算。最终，通过旋转和平移，我们可以得到两个交点的坐标。 -
输出结果
最后，程序将计算得到的交点坐标打印出来。
代码如下：
c
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define EPSILON 1e-6 // 用于浮点数比较的小量
typedef struct {
double x;
double y;
} Point;
int intersectCircles(Point c1, double r1, Point c2, double r2, Point *p1, Point *p2) {
double dx = c2.x - c1.x;
double dy = c2.y - c1.y;
double d = sqrt(dx * dx + dy * dy);
// 检查两圆是否相交
if (d > r1 + r2 || d < fabs(r1 - r2)) {
return 0; // 不相交或相离
}
if (d == r1 + r2 || d == fabs(r1 - r2)) {
return 1; // 相切，交点为1个（理论上，这里不计算切点）
}
// 计算交点
double a = (r1 * r1 - r2 * r2 + d * d) / (2 * d);
double h = sqrt(r1 * r1 - a * a);
double x2 = c1.x + a * (c2.x - c1.x) / d;
double y2 = c1.y + a * (c2.y - c1.y) / d;
double x3 = dy * h / d;
double y3 = -dx * h / d;
// 避免浮点误差导致的错误
if (fabs(dx) > fabs(dy)) {
p1->x = x2 + x3;
p1->y = y2 + y3;
p2->x = x2 - x3;
p2->y = y2 - y3;
} else {
p1->x = x2 + y3;
p1->y = y2 + x3;
p2->x = x2 - y3;
p2->y = y2 - x3;
}
return 2; // 相交，交点为2个
}
int main() {
Point c1 = {0, 0};
double r1 = 5;
Point c2 = {7, 0};
double r2 = 3;
Point p1, p2;
int numPoints = intersectCircles(c1, r1, c2, r2, &p1, &p2);
if (numPoints == 2)
{
printf("Intersection points are: (%f, %f) and (%f, %f)\n", p1.x, p1.y, p2.x, p2.y);
} else if (numPoints == 1) {
printf("The circles are tangent.\n");
} else {
printf("The circles do not intersect.\n");
}
return 0;
}