数据结构(七)——树形查找

7.3 树形查找

7.3.1 二叉排序树

二叉排序树的定义：二叉排序树，又称二叉查找校BST, Binary Search Tree)

一棵二叉树或者是空二叉树，或者是具有如下性质的二叉树:

左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字;

右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字。

左子树和右子树又各是一棵二叉排序树。

左子树结点值<根结点值<右子树结点值

进行中序遍历，可以得到一个递增的有序序列

二叉排序树的查找

二叉排序树的删除

先搜索找到目标结点:

①若被删除结点z是叶结点，则直接删除，不会破坏二叉排序树的性质。

②若结点z只有一棵左子树或右子树，则让z的子树成为z父结点的子树，替代z的位置。

③若结点z有左、右两棵子树，则令z的直接后继（或直接前驱）替代z，然后从二叉排序树中删去这个直接后继（或直接前驱），这样就转换成了第一或第二种情况。

查找效率分析

查找长度――在查找运算中，需要对比关键字的次数称为查找长度，反映了查找操作时间复杂度

若树高h,找到最下层的一个结点需要对比h次

最好情况：n个结点的二叉树最小高度为[log2n]+1，平均查找长度=O(log2n)

最坏情况：每个结点只有一个分支，树高h=结点数n,平均查找长度=O(n)

7.3.2_1 平衡二叉树

平衡二叉树（Balanced Binary Tree)，简称平衡树（AVL树）―一树上任一结点的左子树和右子树的高度之差不超过1。

结点的平衡因子=左子树高-右子树高。

平衡二叉树的插入

在插入操作中，只要将最小不平衡子树调整平衡，则其他祖先结点都会恢复平衡

调整最小不平衡子树LL
1）LL平衡旋转（右单旋转)。由于在结点A的左孩子(L)的左子树(L)上插入了新结点，A的平衡因子由1增至2，导致以A为根的子树失去平衡，需要一次向右的旋转操作。将A的左孩子B向右上旋转代替A成为根结点，将A结点向右下旋转成为B的右子树的根结点，而B的原右子树则作为A结点的左子树。
调整最小不平衡子树RR

2）RR平衡旋转（左单旋转)。由于在结点A的右孩子(R)的右子树(R)插入了新结点，A的平衡因子由-1减至-2，导致以A为根的子树失去平衡，需要一次向左的旋转操作。将A的右孩8向左上旋扭代替A成为根结点，将A结点向左下旋转戊为B的左子树的根结点，而B的原左子树则作为A结点的右子树

调整最小不平衡子树LR

3）LR平衡旋转（先左后右双旋转）。由于在A的左孩子(L）的右子树(R)上插入新结点，A的平衡因子由1增至2，导致以A为根的子树去去平衡，需要进行两次旋转操作，先左旋转后右旋转。先将A结点的左孩子B的右子树的根结点c向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该C结点向右上旋转提升到A结点的位置

调整最小不平衡子树LR