↵一、简单理解
解决问题的一种方法，它将问题不断的分成更小的子问题，直到子问题可以用普通的方法解决。通常情况下，递归会使用一个不停调用自己的函数。
【注】：每一次递归调用都是在解决一个更小的问题，如此进行下去，直到问题本身不能在简化为止
例子：
1.列表元素之和
python
# 求列表元素之和
def sumList(numlist):
'''
循环计算列表和
:param numlist:数值列表
:return: 和
'''
sum = 0
for num in numlist:
sum += num
return sum
def listnum(numlist):
'''
递归计算列表和
:param numlist: 数值列表
:return: 和
'''
if len(numlist) == 1:
return numlist[0]
else:
return numlist[0] + listnum(numlist[1:])
if __name__ == "__main__":
numlist = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
a = sumList(numlist)
b = listnum(numlist)
print("循环计算结果：%f,递归计算结果：%f" % (a, b))2.整数转换进制
python
# 将整数转换成以2-16为进制基数的字符串
def toStr(n, base):
'''
将输入的整数n转换成2-16任意进制的字符串
:param n: 任意正整数
:param base: 2-16中进制
:return: 转换好的字符串
'''
convertString = "0123456789ABCDEF"
if n < base:
return convertString[n]
else:
return toStr(n // base, base) + convertString[n % base]
if __name__ == "__main__":
n = 10
base = 2
print("十进制数：%d 转换成二进制数：%s" % (n, toStr(n,base)))#字符的拼接另外不使用字符拼接的方式
python
from main import Stack
# 将整数转换成以2-16为进制基数的字符串
rStack = Stack()
def toStr(n, base):
'''
将输入的整数n转换成2-16任意进制的字符串,不使用字符拼接，而是通过栈帧
:param n: 任意正整数
:param base: 2-16中进制
:return: 转换好的数值存储栈帧
'''
convertString = "0123456789ABCDEF"
if n < base:
rStack.push(convertString[n])
else:
rStack.push(convertString[n % base])
toStr(n // base, base)
return rStack
if __name__ == "__main__":
n = 100
base = 2
numStack = toStr(n, base)
print("整数%d转换为%d进制为：" % (n, base), end="")
while numStack.size() >= 1:
print(numStack.pop(), end="")二、可视化
使用python中的画图工具进行简单递归程序的绘画，从而理解递归的概念
1.螺旋线
python
#用turtle模块递归的绘制螺旋线
from turtle import *
myTurtle = Turtle()
myWin = myTurtle.getscreen()
def drawSpiral(myTurtle, lineLen):
if lineLen > 0:
myTurtle.forward(lineLen)
myTurtle.right(90)
drawSpiral(myTurtle, lineLen - 5)
drawSpiral(myTurtle, 100)
myWin.exitonclick()#用户在窗口内再次点击之后，程序清理并退出
2.分形树
python
#无法绘画出来的
from turtle import *
myTurtle = Turtle()
myWin = myTurtle.getscreen()
def tree(brancheLen, t):
if brancheLen > 5:
t.forward(brancheLen)
t.right(20)
tree(brancheLen-15,t)
t.left(40)
tree(brancheLen-10,t)
t.right(20)
t.backward(brancheLen)
t = Turtle()
myWin = t.getscreen()
t.left(90)
t.up()
t.backward(100)
t.down
tree(110,t)
myWin.exitonclick()chatGPT中给的代码
python
#能绘画出来
import turtle
def draw_branch(t, length):
if length > 5:
t.forward(length) # 绘制主干
t.right(20) # 右转一定角度
draw_branch(t, length - 15) # 递归绘制右侧分支
t.left(40) # 左转一定角度
draw_branch(t, length - 15) # 递归绘制左侧分支
t.right(20) # 右转一定角度
t.backward(length) # 返回原点
def main():
# 设置窗口和画笔
window = turtle.Screen()
window.bgcolor("white")
t = turtle.Turtle()
t.speed(0) # 设置绘制速度为最快
# 调整画笔位置和方向
t.left(90)
t.up()
t.backward(200)
t.down()
# 绘制分形树
draw_branch(t, 100)
# 等待用户点击关闭窗口
turtle.mainloop()
if __name__ == "__main__":
main()3.谢尔平斯基三角形
chatGPT所给的代码---可运行
python
import turtle
def draw_triangle(t, order, size):
if order == 0:
for _ in range(3):
t.forward(size)
t.left(120)
else:
draw_triangle(t, order - 1, size / 2)
t.forward(size / 2)
draw_triangle(t, order - 1, size / 2)
t.backward(size / 2)
t.left(60)
t.forward(size / 2)
t.right(60)
draw_triangle(t, order - 1, size / 2)
t.left(60)
t.backward(size / 2)
t.right(60)
def main():
# 设置窗口和画笔
window = turtle.Screen()
window.bgcolor("white")
t = turtle.Turtle()
t.speed(0) # 设置绘制速度为最快
# 调整画笔位置和方向
t.up()
t.goto(-200, -150)
t.down()
# 绘制谢尔平斯基三角形
draw_triangle(t, 5, 400)
# 隐藏画笔
t.hideturtle()
# 等待用户点击关闭窗口
turtle.mainloop()
if __name__ == "__main__":
main()b站上所学
python
# 绘制谢尔平斯基三角形
#B站--python递归三部曲（基于turtle实现可视化）
import turtle
t = turtle.Turtle()
def get_midpoint(a, b):
'''
得到两点的中点坐标
:param a: 坐标点（元组）
:param b: 坐标点（元组）
:return: 中点坐标（元组）
'''
ax, ay = a
bx, by = b
return ((ax + bx) / 2, (ay + by) / 2)
def draw_triangle(a, b, c):
'''
绘制以a，b，c为顶点的三角形
:param a: 顶点坐标（元组）
:param b: 顶点坐标（元组）
:param c: 顶点坐标（元组）
:return: 无返回值
'''
ax, ay = a
bx, by = b
cx, cy = c
t.penup() # 提起画笔
t.goto(a) # 画笔移动到a点的位置
t.pendown() # 落下画笔
t.goto(b) # 画出ab线段
t.goto(c) # 画出bc线段
t.goto(a) # 画出ca线段
t.penup()
def draw_sierpinski(triangle, depth):
a, b, c = triangle # triangle包括三个顶点的元组
draw_triangle(a, b, c)
if depth == 0:
return
else:
d = get_midpoint(a, b)
e = get_midpoint(b, c)
f = get_midpoint(c, a)
adf = (a, d, f)
dbe = (d, b, e)
fec = (f, e, c)
draw_sierpinski(adf, depth - 1)
draw_sierpinski(dbe, depth - 1)
draw_sierpinski(fec, depth - 1)
if __name__ == "__main__":
triangle = ((-200,-100),(0,200),(200,-100))
draw_sierpinski(triangle,4)4.汉诺塔
不能可视化的
python
#B站---python递归三部曲（基于turtle实现可视化）
#汉诺塔
def moveDisk(diskIndex,fromPole,toPole):
'''
从起始塔向目标塔移动圆环
:param diskIndex:圆环
:param fromPole:起始塔
:param toPole:目标塔
:return:无
'''
print_str = 'Move disk %s from %s to %s' %(diskIndex,fromPole,toPole)
print(print_str)
def moveTower(height,fromPole,withPole,toPole):
'''
汉诺塔的递归调用函数
:param height: 汉诺塔高度
:param fromPole: 起始塔
:param withPole: 中转塔
:param toPole: 目标塔
:return:
'''
if height == 1:
moveDisk(1,fromPole,toPole)
else:
moveTower(height-1,fromPole,toPole,withPole)
moveDisk(height,fromPole,toPole)
moveTower(height-1,withPole,fromPole,toPole)
if __name__ == "__main__":
moveTower(3,"A","B","C")能可视化的
python
#自己对着B站视频写的一半，但是无法正确跑，不过注释都是正确的意思
import turtle
def set_plate(i):
'''
绘制第i层圆盘
:return:
'''
size = 20 # 圆盘转弯半径基数
l = size * (i + 2) # 第i层圆盘半径
t = turtle.Turtle()
t.hideturtle() # 隐藏画笔
t.penup() # 提起画笔
t.left(90) # 每次先逆时针旋转90度，新建的左转90度为设置时的图案。
t.begin_poly() # 绘制记录
t.forward(l) # 向前走40
t.circle(size, 180) # 画一个半径为20，角度为180的弧
t.forward(l * 2)
t.circle(size, 180)
t.forward(l)
t.end_poly() # 结束记录
turtle.register_shape("plate_%s" % i, p) # 取出记录的情况，给不同层的圆盘赋值不同的名称
def set_tower():
'''
绘制塔
:return:
'''
# 塔的参数：宽、高、转弯半径
tower_width = 100
tower_height = 200
tower_radius = 10
t = turtle.Turtle()
t.hideturtle() # 隐藏画笔
t.penup() # 提起画笔
t.left(90)
t.begin_poly()
t.forward(tower_width)
t.circle(tower_radius, 180)
t.forward(tower_width - tower_radius)
t.right(90)
t.forward(tower_height)
t.circle(tower_radius, 180)
t.forward(tower_height)
t.right(90)
t.forward(tower_width - tower_radius)
t.circle(tower_radius, 180)
t.forward(tower_width)
t.end_poly()
turtle.register_shape("tower")
def draw_towers():
# 塔的参数：塔之间的距离，塔的海拔高度
tower_distance = 250
tower_altitude = -100
set_tower()
tower = turtle.Turtle("tower")
tower.speed(0) # 0是最快的速度
tower.penup()
tower.goto(-tower_distance, tower_altitude) # 移动到（-250，-100）位置
tower.stamp() # 一直显示出来
tower.goto(0, tower_altitude)
tower.stamp()
tower.goto(tower_distance, tower_altitude)
if __name__ == "__main__":
draw_towers()
set_plate(1)
plate = turtle.Turtle("plate_1")
plate.forward(200)
turtle.done()B站博主所写代码参考网址：需要魔法（可参考网络代理文章）
python
#能可视化代码，但是turtle库的绘制方法不熟悉
import turtle
# ==============
# 常量设置
# ==============
N = 7 # 汉诺塔层数限制
BasePL = 12 # plate的大小基数，修改这个能够调整plate的大小
TowerP = 5 # Tower的线宽
TowerW = 110 # Tower的底座宽度
TowerH = 200 # Tower的高度
TowerSpace = 260 # Tower的之间的距离，从中心到中心
HORIZON = -100 # Tower的底座高度，用于定位
# 动画速度，5是比较适中的速度
PMS = 5
# 优化处理
Isjump = True
POLES = {
"1": [],
"2": [],
"3": [],
}
PLATES = [] # 存储所有圆盘对象
# 塔的颜色
LineColor = "black"
# 多个盘子的颜色
FillColors = [
"#d25b6a",
"#d2835b",
"#e5e234",
"#83d05d",
"#2862d2",
"#35b1c0",
"#5835c0"
]
# 建立窗体
SCR = turtle.Screen()
# SCR.tracer()
SCR.setup(800, 600) # 设置窗体大小
# 设置圆盘形状
def set_plate(pi=0):
_pi = pi + 2
t = turtle.Turtle()
t.hideturtle()
t.speed(0)
t.penup()
t.begin_poly()
t.left(90)
t.forward(BasePL * _pi)
t.circle(BasePL, 180)
t.forward(BasePL * 2 * _pi)
t.circle(BasePL, 180)
t.forward(BasePL * _pi)
t.end_poly()
p = t.get_poly()
pname = 'plate_%s' % pi
SCR.register_shape(pname, p)
# 设置塔柱形状
def set_tower():
t = turtle.Turtle()
t.hideturtle()
t.speed(0)
t.penup()
t.begin_poly()
t.left(90)
t.forward(TowerW)
t.circle(-TowerP, 180)
t.forward(TowerW)
t.forward(TowerW)
t.circle(-TowerP, 180)
t.forward(TowerW - TowerP / 2)
t.left(90)
t.forward(TowerH)
t.circle(-TowerP, 180)
t.forward(TowerH)
t.end_poly()
p = t.get_poly()
SCR.register_shape('tower', p)
# 绘制塔柱
def draw_towers():
set_tower()
for tx in [-TowerSpace, 0, TowerSpace]:
t3 = turtle.Turtle('tower')
t3.penup()
t3.goto(tx, HORIZON)
# 绘制圆盘
def draw_plates(pn=4):
plates = []
for i in range(pn):
set_plate(i)
_plate = 'plate_%s' % i
_p = turtle.Turtle(_plate)
_colorIdx = i % len(FillColors)
_color = FillColors[_colorIdx]
_p.color(_color, _color)
_p.speed(PMS)
plates.append(_p)
# 反序，大的在前，小的在后
global PLATES
PLATES = plates[:]
# 绘制移动过程
def draw_move(diskIndex, fromPindex, toPindex):
p = PLATES[diskIndex - 1]
index_loc = {
"A": 1,
"B": 2,
"C": 3
}
toP = index_loc.get(toPindex, None)
fromP = index_loc.get(fromPindex, None)
p.penup()
mx = (toP - 2) * TowerSpace
my = HORIZON + len(POLES[str(toP)]) * BasePL * 2
if fromP != None:
POLES[str(fromP)].remove(p)
if Isjump:
px, py = p.pos()
p.goto(px, TowerH + py)
p.goto(mx, TowerH + py)
p.goto(mx, my)
POLES[str(toP)].append(p)
# 将所有圆盘移动到起点
def movetoA(n, fromPindex):
for i in range(n, 0, -1):
draw_move(i, None, fromPindex)
# 移动指定层圆盘diskIndex，从fromPole出发，到达toPole
def moveDisk(diskIndex, fromPole, toPole):
"""
:param diskIndex: 圆盘的索引（从上往下，第一层为1，第二层为2、、、第n层为n）
:param fromPole: 出发的柱子（起点）
:param toPole: 要到达的柱子（终点）
:return:
"""
draw_move(diskIndex, fromPole, toPole)
# 核心函数，入口
def moveTower(height, fromPole, withPole, toPole):
"""
:param height: 汉诺塔高度------层数
:param fromPole: 出发的柱子（起点）
:param withPole: 进过的柱子（中转点）
:param toPole: 要到达的柱子（终点）
:return:
"""
if height == 1:
# 基础情形：一层的汉诺塔
moveDisk(1, fromPole, toPole)
return
# 先将圆盘1到n - 1看作一个整体从起点塔移动到中转塔（用目标塔作为本步骤的中转）
moveTower(height - 1, fromPole, toPole, withPole)
# 再将圆盘n从起点塔A移动到目标塔C
moveDisk(height, fromPole, toPole)
# 最后将圆盘1到n - 1看作一个整体从中转塔移动到目标塔（用起点塔作为本步骤的中转）
moveTower(height - 1, withPole, fromPole, toPole)
if __name__ == '__main__':
# 调用
# 三层汉诺塔，A为出发柱子，B为中转柱子，C为目标柱子
n = N
SCR.tracer(0)
draw_towers()
draw_plates(n)
movetoA(n, "A")
SCR.tracer(1)
# SCR.delay(3)
moveTower(n, "A", "B", "C")
turtle.done()三、动态规划
1.硬币找零问题
python
def recMC(coinValueList, change):
'''
找零问题
:param coinValueList:零钱的数值列表
:param change: 需要找的零钱总数
:return: 最少找零硬币数量
'''
minCoins = change
if change in coinValueList:
return 1
else:
for i in [c for c in coinValueList if c <= change]:
numCoins = 1 + recMC(coinValueList, change - i)
# 更新最少找零数量
if numCoins < minCoins:
minCoins = numCoins
return minCoins
lst = [1,5,10,25]
change = 63
number = recMC(lst,change)
print(number)
#运行代码时，会有长时间的计算过程。