树和二叉树（一）

一、树

非线性数据结构，在实际场景中，存在一对多，多对多的情况。

树( tree）是n (n>=0）个节点的有限集。当n=0时，称为空树。

在任意一个非空树中，有如下特点。

1.有且仅有一个特定的称为根的节点。

2.当n>1时，其余节点可分为m (m>0）个互不相交的有限集，每一个集合本身又是一个树，并称为根的子树。

如图所示：节点1:根节点（root），节点5,6,7,8:叶子节点（leaf）；分为不同的层级，节点4是父节点（parent）,节点4的孩子节点（child）节点4的兄弟节点（sibling）;

树的最大的层级树，称为数的高度或深度，上图的数的高度为4。

二、 二叉树

二叉树(binary tree）是树的一种特殊形式。二叉顾名思义，这种树的每个节点最多有2个孩子节点。

注意：这里是最多有2个，也可能只有1个，或者没有孩子节点。

二叉树节点的两个孩子节点，一个被称为左孩子(leftchild) ，一个被称为右孩子（right child）。

此外，二叉树还有两种特殊形式，一个叫作满二叉树， 另一个叫作完全二叉树。

2.1、二叉树的五种基本形式：

2.2、二叉树与树的区别 ：

• 树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为2
• 树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分

2.3、满二叉树与完全二叉树：

（1）满二叉树

一个二叉树的所有非叶子节点都存在左孩子和右孩子，并且所有叶子节点都在同一层级上，那么这个树就是满二叉树。

简单点说，满二叉树的每一个分支都是满的。

（2）完全二叉树

对一个有n个节点的二叉树，按层级顺序编号，则所有节点的编号为从1到n。如果这个树所有节点和同样深度的满二叉树的编号为从1到n的节点位置相同，则这个二叉树为完全二叉树。

在上图中，二叉树编号从1到12的12个节点，和前面满二叉树编号从1到12的节点位置完全对应。因此这个树是完全二叉树。

完全二叉树的条件没有满二叉树那么苛刻:满二叉树要求所有分支都是满的;而完全二叉树只需保证最后一个节点之前的节点都齐全即可。

三、二叉树的性质

1、在二叉树的第 i 层上最多有 2^n-1个结点（i>=1）

2、深度（高度）为 k 的二叉树最多有 2^k - 1个结点（k>=1）

3、对任意一颗二叉树，如果其叶子节点数为 N0,度为2的结点数为N2,则 N0 = N2 + 1

设 : 结点之间的总连线数是B ,总结点数是n,

度为0的结点是n0,

度为1的结点是n1,

度为2的结点是n2,

从上往下看 二叉树最大的度就是2所以的节点要么度是2，要么度是1，要么度是0，度是2的会发出两条线, 度是1的发出1条线所以得到图片里的公式 B = n2 * 2 + n1;

二叉树的总结点数 n = n1 +n2+n0;

总连续数 B=n-1

由此得出：度是0的结点个数=度是2的结点个数+1

四、二叉树的存储

1.链式存储结构

2.数组

（1）链式存储结构

• 存储数据的data变量
• 指向左孩子的left指针
• 指向右孩子的right指针

（2）数组

使用数组存储时，会按照层级顺序把二叉树的节点放到数组中对应的位置上。如果某一个节点的左孩子或右孩子空缺，则数组的相应位置也空出来。

如何方便地在数组中定位二叉树的孩子节点和父节点？

假设一个父节点的下标是parent，

左孩子节点的下标=2xparent +1;

右孩子节点的下标=2xparent+2。

由此：

如果一个左孩子节点的下标是leftChild，那么它的父节点下标=(leftChild-1)/2。

如果一个右孩子节点的下标是rightChild，那么它的父节点下标=(rightChild-2)/2。

图上所示， 节点5的索引是4，那么节点5的父节点=(4-2)/2=1,由此可得索引1对应的是节点2

五、二叉树的遍历

1. 深度优先遍历
2. 广度优先遍历

1. 深度优先遍历

深度优先( depth first search，DFS ) ，顾名思义就是偏向于纵深，"一头扎到底"的访问方式。深度优先遍历又根据遍历顺序的不同分为三种：前序遍历、中序遍历、后序遍历。

1.1 前序遍历

所谓前序遍历，是指二叉树遍历每个子树的时候，都是按照根结点、左子树、右子树的顺序来遍历，因为根结点在前，所以叫做前序遍历。前序遍历中根结点的优先级别最高。如下图所示：

1.2 中序遍历

如果二叉树遍历每个子树的时候，都是按照左子树、根结点、右子树的顺序来遍历，因为根结点在中间，所以叫做中序遍历。如下图所示：

1.3 后序遍历

二叉树遍历每个子树的时候，都是按照左子树、右子树、根结点的顺序来遍历，因为根结点在最后，所以叫做后序遍历。如下图所示：

使用递归的方式来操作，如图所示

''''树节点'''
class TreeNode:
    '''初始化'''
    def __init__(self,data):
        self.data=data #数据
        self.left=None #左节点
        self.right=None #右节点

'''二叉树'''
class MyTree:
    def create_tree(self,input_list=[]):
        #判断数列是否为空
        if input_list is None or len(input_list)==0:
            return None
        #第一个出队
        data=input_list.pop(0)
        #判断数据为空
        if data is None:
            return None
        #树节点
        node=TreeNode(data)
        #创建左节点
        node.left=self.create_tree(input_list)
        #创建右节点
        node.right =self.create_tree(input_list)
        return node

    def before_foreach(self,node):
        '''
        前序遍历  （根左右）
        :param node:  二叉树节点
        :return:
        '''
        # 判断节点为空
        if node is None:
            return None
        #显示节点数据
        print(node.data,end=',')
        #再次遍历左节点，右节点
        self.before_foreach(node.left)
        self.before_foreach(node.right)
        return node

    def middle_foreach(self,node):
        '''
        中年序遍历  （左根右）
        :param node:  二叉树节点
        :return:
        '''
        # 判断节点为空
        if node is None:
            return None
        #再次遍历左节点
        self.middle_foreach(node.left)
        # 显示节点数据
        print(node.data, end=',')
        # 再次遍历右节点
        self.middle_foreach(node.right)
        return node

    def after_foreach(self,node):
        '''
        后序遍历  （左右根）
        :param node:  二叉树节点
        :return:
        '''
        # 判断节点为空
        if node is None:
            return None
        #再次遍历左节点，右节点
        self.after_foreach(node.left)
        self.after_foreach(node.right)
        # 显示节点数据
        print(node.data, end=',')
        return node


if __name__ == '__main__':
    #二叉树对象
    my=MyTree()
    #列表
    ll=list([5,6,8,None,None,10,None,None,9,None,7])
    #调用方法
    node=my.create_tree(input_list=ll)
    print('前序遍历')
    my.before_foreach(node)
    print('\n中序遍历')
    my.middle_foreach(node)
    print('\n后序遍历')
    my.after_foreach(node)

2. 广度优先遍历

广度优先遍历( Breadth First Search，BFS )也叫层序遍历 ，就是按照二叉树中的层次从左到右依次遍历每层中的结点。层序遍历的实现思路是利用队列来实现。

先将树的根结点入队，然后再让队列中的结点出队。队列中每一个结点出队的时候，都要将该结点的左子结点和右子结点入队。当队列中的所有结点都出队，树中的所有结点也就遍历完成。此时队列中结点的出队顺序就是层次遍历的最终结果。如下图所示：

（1） 根节点1入队列

（2） 节点1出队，输出节点1，并得到节点1的左孩子节点2、右孩子节点3。让节点2和节点3入队。

（3） 节点2出队，输出节点2，并得到节点2的左孩子节点4、右孩子节点5。让节点4和节点5入队。

（4） 节点3出队，输出节点3，并得到节点3的右孩子节点6。让节点6入队。

（5）节点4出队，输出节点4，由于节点4没有孩子节点，所以没有新节点入队。

（6）节点5出队，输出节点5，由于节点5同样没有孩子节点，所以没有新节点入队。

（7） 节点6出队，输出节点6，节点6没有孩子节点，没有新节点入队。

使用递归的方式来操作，如上图所示

'''节点'''
class TreeNode:
    '''初始化数据'''
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        self.left = None
        self.right = None

'''层序遍历'''
def level_order_traversal(root):
    # 判断节点为空
    if root is None:
        return []
    #数列
    result = []
    #队列
    queue = [root]
    #循环
    while queue:
        level = []  #层列
        #循环
        for _ in range(len(queue)):
            #第一个数据出队列
            node = queue.pop(0)
            #添加数据
            level.append(node.data)
            #判断左节点是否不为空
            if node.left is not None:
                queue.append(node.left)
            # 判断左节点是否不为空
            if node.right is not None:
                queue.append(node.right)
        #添加到列表中
        result.append(level)
    return result

if __name__ == '__main__':
    #二叉树对象
    root = TreeNode(1)
    root.left = TreeNode(2)
    root.right = TreeNode(3)
    root.left.left = TreeNode(4)
    root.left.right = TreeNode(5)
    root.right.right = TreeNode(6)

    print(level_order_traversal(root))

在实际应用中，二叉树又是使用最广泛的，特别是二叉树的几种遍历操作的规则，需要重点掌握。在面试或应试中，通常会根据前序、中序、后序中的两种序列，询问另外一种树的遍历结果。