【数据结构与算法】8.二叉树的基本概念|前序遍历|中序遍历|后序遍历

📚博客主页：爱敲代码的小杨.

✨专栏：《Java SE语法》 | 《数据结构与算法》 | 《C生万物》 |《MySQL探索之旅》 |《Web世界探险家》

❤️感谢大家点赞👍🏻收藏⭐评论✍🏻，您的三连就是我持续更新的动力❤️

🙏小杨水平有限，欢迎各位大佬指点，相互学习进步！

文章目录

[1. 树形结构（了解）](#1. 树形结构（了解）)
- [1.1 概念](#1.1 概念)
- [1.2 概念（重要）](#1.2 概念（重要）)
- [1.3 树的表示形式（了解）](#1.3 树的表示形式（了解）)
- [1.4 树的应用](#1.4 树的应用)
[2. 二叉树](#2. 二叉树)
- [2.1 概念](#2.1 概念)
- [2.2 特殊的二叉树](#2.2 特殊的二叉树)
- [2.3 二叉树的性质](#2.3 二叉树的性质)
- [2.4 二叉树的存储](#2.4 二叉树的存储)
[3. 二叉树的基本操作](#3. 二叉树的基本操作)
- [3.1 前置说明](#3.1 前置说明)
- [3.2 二叉树的遍历](#3.2 二叉树的遍历)
- - [1. 前序遍历](#1. 前序遍历)
  - [2. 中序遍历](#2. 中序遍历)
  - [3. 后序遍历](#3. 后序遍历)

1. 树形结构（了解）

1.1 概念

树是一种非线性 的数据结构，它是由n(n>=0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一个倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶子朝下。它具有的特点：

有一个特殊的几点，称为根节点，根节点没有前驱节点
除根节点外，其余节点被分成m(m>0)个互不相交的集合 T1、T2、...、Tm，其中每一个集合Ti(1<=i<=m)又是一颗与类似的字数。每颗子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的。

【注意】：树形结构中，子树间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 概念（重要）

节点的度 ：一个节点含有子树的个数称为该节点的度；如下图：A的度为2
树的度 ：一棵树中，所有的节点度的最大值称为树的度；如下图：树的度为3
叶子节点或终端节点 ：度为0的节点称为叶子节点；如下图：G、H、I、J、F节点为叶子节点
双亲节点或父节点 ：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如下图：A是B的父节点
孩子节点或子节点 ：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如下图：B是A的孩子节点
根节点 ：一棵树中，没有双亲节点的节点；如下图：A
节点的层次 ：从根节点定义来，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推
树的高度：树中节点的最大层次；如下图：树的高度为4

树的以下概念只需了解，知道是什么意思即可：
非终端节点或分支节点 ：度不为0的节点；如下图：B、C、D、E节点为分支节点
兄弟节点 ：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如下图：B、C是互为兄弟节点
堂兄弟节点 ：双亲在同一层的节点互为堂兄弟节点；如下图：D、E是互为堂兄弟节点
节点的祖先 ：从根到该节点所经分支上的所有节点；如下图：A是所有节点的祖先
子孙：以某个节点为根的子树中任一节点都称为该节点的的子孙。如下图：所有的接地那都是A的子孙
森林：由m(m>=0)棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3 树的表示形式（了解）

树的结构相对线性表就比较复杂了，要存储不是起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法，孩子兄弟表示法 等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法

java 复制代码

class Node {
    int val; // 树中存储的数据
    Node firstChild; // 第一个孩子引用
    Node nextBrother;// 下一个兄弟引用
}

线性结构与树形结构的对比

线性结构	树形结构
第一个数据元素：无前驱	根节点：无双亲，唯一
最后一个数据元素：无后继	叶节点：无孩子，可以多个
中间元素：一个前驱，一个后继	中间节点：一个双亲多个孩子

1.4 树的应用

文件系统管理（目录和文件）

2. 二叉树

2.1 概念

二叉树是n(n>=0)个节点的有限集合，该集合或者空集（空二叉树），或者由一个根节点和两颗互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。

从上图可以看出：

二叉树不存在度大于2的节点
二叉树的子树有左右之分，因此二叉树是有序树

总结：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的

大自然中的二叉树：

2.2 特殊的二叉树

满二叉树 ：一颗二叉树，如果每层的节点数都达到最大值，则这课二叉树就是，满二叉树 。也就是说，如果一颗二叉树的层数为K，且节点总数是 2K -1，则它就是满二叉树
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有 n 个节点的二叉树，每个节点都与深度为 K 的满二叉树中编号从0至 n-1的节点（从上到下，从左到右，依次存放）------对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

若根节点的层数为1 ，则一颗非空二叉树的第 i 层上最多有 2i-1 （i > 0）个节点
若只有根节点的二叉树的深度为1 ，则深度为 k 的二叉树的最大节点数是2k - 1(k >= 0)
对任何一颗二叉树，如果其叶子节点个数为 n0，度为2的非叶子节点个数为n2，则有n0 = n2 + 1
具有 n 个节点的完全二叉树的深度 k 为long2(n+1)上取整
对于具有 n 个节点的完全二叉树，如果按照从上至下、从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号 i 的节点有：
- 若 i > 0，双亲序号：(i - 1) / 2；i = 0，i为根节点编号，无双亲节点
- 若 2i + 1 < n，左孩子序号：2i + 1，否则无左孩子
- 若 2i + 2 < n，右孩子序号：2i + 2，否则无右孩子

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储结构 分为：顺序存储 和类似于链表的链式存储
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方法有孩子表示法和孩子双亲表示法，具体如下：

java 复制代码

// 孩子表示法
class Node {
   int val;// 数据域
   Node left;// 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
   Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
   int val;// 数据域
   Node left;// 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
   Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
   Node parent;    // 当前节点的根节点
}

3. 二叉树的基本操作

3.1 前置说明

在学习二叉树的基本操作前，需要先创建一颗二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树的结构掌握还不够深入，为了降低学习成本，此处手动创建一颗二叉树，快速进入二叉树的学习。

java 复制代码

public class BinaryTree {
    // 节点类
    static class TreeNode{
        public char val;
        public TreeNode left; // 左节点
        public TreeNode right; // 右节点

        // 构造方法
        public TreeNode(char val) {
            this.val = val;
        }
    }

    // 以穷举的方式 创建一颗二叉树
    public TreeNode createTree() {
        TreeNode A = new TreeNode('A');
        TreeNode B = new TreeNode('B');
        TreeNode C = new TreeNode('C');
        TreeNode D = new TreeNode('D');
        TreeNode E = new TreeNode('E');
        TreeNode F = new TreeNode('F');
        TreeNode G = new TreeNode('G');
        TreeNode H = new TreeNode('H');

        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        E.right = H;
        C.left = F;
        C.right = G;
        return A; // 返回根节点
    }
}

注意：上诉代码并不是创建二叉树的方式。

回顾一下二叉树的概念：

空树
非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的

从概念可以看出：二叉树的定义是递归式的，因此后续的基本操作中都是按照该概念实现的。

3.2 二叉树的遍历

学习二叉树的结构，最简单的方式就是遍历，所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

1. 前序遍历

前序遍历的顺序: 根节点-> 左子树 -> 右子树

遍历演示 :

代码 :

java 复制代码

// 前序遍历
void preOrder(TreeNode root) {
	// 判断是否为空树
	if (root == null) {
		return;
	}
	// 打印当前节点的值
	System.out.print(root.val + " ");
	// 递归左子树
	preOrder(root.left);
	// 递归右子树
	preOrder(root.right);
}

2. 中序遍历

中序遍历的顺序: 左子树 -> 根结点 -> 右子树

遍历演示:

代码 :

java 复制代码

// 中序遍历
void inOrder(TreeNode root) {
	if (root == null) {
		return;
	}
	// 递归左子树
	inOrder(root.left);
	// 打印当前节点的值
	System.out.print(root.val + " ");
	// 递归右子树
	inOrder(root.right);
}

3. 后序遍历

后序遍历的顺序: 左子树 -> 右子树 -> 根结点

代码:

java 复制代码

// 后序遍历
void postOrder(TreeNode root) {
	if (root == null) {
		return;
	}
	// 递归左子树
	postOrder(root.left);
	// 递归右子树
	postOrder(root.right);
	// 打印当前节点的值
	System.out.print(root.val + " ");
}

测试代码:

java 复制代码

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        BinaryTree.TreeNode root = binaryTree.createTree();

        System.out.print("前序遍历：");
        binaryTree.preOrder(root);

        System.out.println();

        System.out.print("中序遍历：");
        binaryTree.inOrder(root);

        System.out.println();

        System.out.print("后序遍历：");
        binaryTree.postOrder(root);
    }
}

运行结果: