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试题A：握手问题
问题描述
小蓝组织了一场算法交流会议，总共有 50 人参加了本次会议。在会议上， 大家进行了握手交流。按照惯例他们每个人都要与除自己以外的其他所有人进 行一次握手（且仅有一次）。但有 7 个人，这 7 人彼此之间没有进行握手（但 这 7 人与除这 7 人以外的所有人进行了握手）。请问这些人之间一共进行了多 少次握手？
注意 A 和 B 握手的同时也意味着 B 和 A 握手了，所以算作是一次握手。
思路
总共有50人参加了会议，其中7个人之间没有握手，但他们与其他43个人都握过手，握手次数为7*43=301次。
另外43个人之间握手的次数可以通过组合公式计算：C(43,2)=903次。
所以，这些人之间一共进行了 301+903=1204次握手。
因此，答案是：1204次。
cpp
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int countHandshakes(int total, int group)
{
int groupHandshakes = group * (total - group);
int otherHandshakes = (total - group) * (total - group - 1) / 2;
return groupHandshakes + otherHandshakes;
}
int main()
{
int total = 50;
int group = 7;
int numHandshakes = countHandshakes(total, group);
cout << "这些人之间一共进行了 " << numHandshakes << " 次握手" << endl;
return 0;
}试题B：小球反弹
问题描述
有一长方形，长为 343720 单位长度，宽为 233333 单位长度。在其内部左 上角顶点有一小球（无视其体积），其初速度如图所示且保持运动速率不变，分 解到长宽两个方向上的速率之比为 dx : dy = 15 : 17。小球碰到长方形的边框时 会发生反弹，每次反弹的入射角与反射角相等，因此小球会改变方向且保持速 率不变（如果小球刚好射向角落，则按入射方向原路返回）。从小球出发到其第 一次回到左上角顶点这段时间里，小球运动的路程为多少单位长度？答案四舍 五入保留两位小数。
思路
为了计算小球运动的路程，我们需要模拟小球在长方形内的反弹过程，直到它再次回到左上角顶点。由于小球在长宽方向上的速率之比是恒定的（dx : dy = 15 : 17），我们可以将问题分解为两个独立的一维问题，分别处理小球在长和宽方向上的运动。
首先，我们需要确定小球在碰到哪一边之前会先碰到另一边。这可以通过比较小球在两个方向上到达边界所需的时间来实现。一旦小球碰到边界，它就会以相同的角度反弹。我们可以记录每次反弹的位置和方向，直到小球再次回到起始点。
cpp
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;
struct Point
{
Point(double x = 0, double y = 0)
: x(x)
, y(y)
{}
double x, y;
};
struct Velocity
{
Velocity(double dx = 0, double dy = 0)
: dx(dx)
, dy(dy)
{}
double dx, dy;
};
double calculateDistance(double length, double width, const Velocity& v)
{
double totalDistance = 0;
Point position(0, 0); // 初始位置为左上角顶点
Velocity currentVelocity = v;
while (true)
{
// 计算小球在长和宽方向上分别需要多长时间到达边界
double timeToHitX = (length - position.x) / currentVelocity.dx;
double timeToHitY = (width - position.y) / currentVelocity.dy;
// 根据时间决定小球先碰到哪一边
if (timeToHitX < timeToHitY)
{
// 碰到长方形的右边
totalDistance += position.x + currentVelocity.dx * timeToHitX;
currentVelocity.dx = -currentVelocity.dx; // 反弹
position.x = length - currentVelocity.dx * timeToHitX;
}
else
{
// 碰到长方形的下边
totalDistance += position.y + currentVelocity.dy * timeToHitY;
currentVelocity.dy = -currentVelocity.dy; // 反弹
position.y = width - currentVelocity.dy * timeToHitY;
}
// 检查是否回到起始点
if (position.x == 0 && position.y == 0)
{
break; // 如果回到起始点，退出循环
}
}
return totalDistance;
}
int main()
{
double length = 343720; // 长方形长
double width = 233333; // 长方形宽
Velocity v(15, 17); // 小球的速率比
// 计算小球运动的总路程
double totalDistance = calculateDistance(length, width, v);
// 输出结果，保留两位小数
cout << fixed << setprecision(2) << totalDistance << endl;
return 0;
}试题C：好数
问题描述
一个整数如果按从低位到高位的顺序，奇数位（个位、百位、万位 · · · ）上 的数字是奇数，偶数位（十位、千位、十万位 · · · ）上的数字是偶数，我们就称 之为"好数"。
给定一个正整数 N，请计算从 1 到 N 一共有多少个好数。
输入格式
一个整数 N。
输出格式
一个整数代表答案。
样例输入
24
2024
样例输出
7
150
样例说明
对于第一个样例，24 以内的好数有 1、3、5、7、9、21、23，一共 7 个。
评测用例规模与约定
对于 10% 的评测用例，1 ≤ N ≤ 100。
对于 100% 的评测用例，1 ≤ N ≤ 107。
思路
遍历从1到N的所有整数，判断每个整数是否满足好数的条件，如果满足则计数器加1。
条件：定位一个flag在奇数位上为1，在偶数位上为-1，判断奇数位上是否为奇数且flag是否为1或者偶数位上是否为偶数且flag是否为-1
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
bool isGoodNumber(int num)
{
int flag = 1;
while (num )
{
int current = num % 10;
if (!((flag == 1 && current % 2) || (flag == -1 && current % 2 == 0)))
return false;
num /= 10;
flag *= -1;
}
return true;
}
int countGoodNumbers(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 1; i <= N; i++)
{
if (isGoodNumber(i))
count++;
}
return count;
}
int main()
{
int N = 0;
cin >> N;
cout << countGoodNumbers(N) << endl;
return 0;
}试题D：R格式
问题描述
小蓝最近在研究一种浮点数的表示方法：R 格式。对于一个大于 0 的浮点 数 d，可以用 R 格式的整数来表示。给定一个转换参数 n，将浮点数转换为 R 格式整数的做法是：
- 将浮点数乘以 2的n次方 ;
- 四舍五入到最接近的整数。
输入格式
一行输入一个整数 n 和一个浮点数 d，分别表示转换参数，和待转换的浮 点数。
输出格式
输出一行表示答案：d 用 R 格式表示出来的值。
样例输入
2 3.14
样例输出
13
样例说明
评测用例规模与约定
对于 50% 的评测用例：1 ≤ n ≤ 10，1 ≤ 将 d 视为字符串时的长度 ≤ 15。
对于 100% 的评测用例：1 ≤ n ≤ 1000，1 ≤ 将 d 视为字符串时的长度 ≤ 1024；
保证 d 是小数，即包含小数点。
思路
- 首先，我们需要定义一个函数
convertToRFormat，该函数接受一个浮点数d和一个整数n作为参数。 - 在函数中，我们首先计算转换因子
factor，即2的n次方。 - 然后，我们将浮点数
d乘以转换因子factor，得到一个新的浮点数。 - 最后，我们使用四舍五入函数
round将新的浮点数四舍五入到最接近的整数，并将结果返回。
cpp
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
long long convertToRFormat(double d, int n)
{
double factor = pow(2, n);
long long result = round(d * factor);
return result;
}
int main()
{
double d = 0.0;
int n = 0;
cin >> n >> d;
long long rFormat = convertToRFormat(d, n);
cout << rFormat << endl;
return 0;
}试题E：宝石组合
问题描述
在一个神秘的森林里，住着一个小精灵名叫小蓝。有一天，他偶然发现了 一个隐藏在树洞里的宝藏，里面装满了闪烁着美丽光芒的宝石。这些宝石都有 着不同的颜色和形状，但最引人注目的是它们各自独特的 "闪亮度" 属性。每颗 宝石都有一个与生俱来的特殊能力，可以发出不同强度的闪光。小蓝共找到了 N 枚宝石，第 i 枚宝石的 "闪亮度" 属性值为 Hi，小蓝将会从这 N 枚宝石中选 出三枚进行组合，组合之后的精美程度 S 可以用以下公式来衡量：
其中 LCM 表示的是最小公倍数函数。
小蓝想要使得三枚宝石组合后的精美程度 S 尽可能的高，请你帮他找出精 美程度最高的方案。如果存在多个方案 S 值相同，优先选择按照 H 值升序排列 后字典序最小的方案。
输入格式
第一行包含一个整数 N 表示宝石个数。
第二行包含 N 个整数表示 N 个宝石的 "闪亮度"。
输出格式
输出一行包含三个整数表示满足条件的三枚宝石的 "闪亮度"。
样例输入
5
1 2 3 4 9
样例输出
1 2 3
评测用例规模与约定
对于 30% 的评测用例：3 ≤ N ≤ 100，1 ≤ Hi ≤ 1000。
对于 60% 的评测用例：3 ≤ N ≤ 2000。
对于 100% 的评测用例：3 ≤ N ≤ 105，1 ≤ Hi ≤ 105。
思路
我们需要找到三枚宝石的组合，使得他们的最小公倍数与各自"闪亮度"属性值的乘积之和最大。此外，如果有多个最大精美程度的方案，我们还需要根据H值的升序排列选择字典序最小的方案。
首先，我们需要实现计算两个数的最小公倍数（LCM）的函数，通常LCM可以通过两数乘积除以它们的最大公约数（GCD）来得到。然后，我们需要遍历所有可能的宝石组合，计算每个组合的精美程度，并跟踪最大的S值以及对应的宝石组合。
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
// 计算最大公约数
float gcd(int a, int b)
{
if (b == 0)
return a;
return gcd(b, a % b);
}
// 计算最小公倍数
float lcm(int a, int b)
{
return a * b / gcd(a, b);
}
// 定义一个宝石的结构体
struct Gem
{
int H; // 闪亮度
int index; // 宝石的索引，用于记录宝石的原始顺序
};
// 自定义比较函数，用于按H值升序排序
bool compareGems(const Gem& a, const Gem& b)
{
if (a.H == b.H)
return a.index < b.index; // 如果H值相同，按索引升序排列
return a.H < b.H;
}
// 查找最大精美程度的宝石组合
vector<int> findMaxBeautyCombination(const vector<int>& gems)
{
int N = gems.size();
vector<Gem> gemVec(N);
for (int i = 0; i < N; ++i)
{
gemVec[i].H = gems[i];
gemVec[i].index = i;
}
// 按H值升序排序
sort(gemVec.begin(), gemVec.end(), compareGems);
float maxBeauty = 0;
vector<int> bestCombination;
// 遍历所有可能的宝石组合
for (int i = 0; i < N - 2; ++i)
{
for (int j = i + 1; j < N - 1; ++j)
{
for (int k = j + 1; k < N; ++k)
{
float beauty = (gemVec[i].H * 100 + gemVec[j].H * 10 + gemVec[k].H) * (lcm(lcm(gemVec[i].H, gemVec[j].H), gemVec[k].H) /
(lcm(gemVec[i].H, gemVec[j].H) * lcm(gemVec[j].H, gemVec[k].H) * lcm(gemVec[i].H, gemVec[k].H)));
if (beauty > maxBeauty)
{
maxBeauty = beauty;
bestCombination = { gemVec[i].H, gemVec[j].H, gemVec[k].H };
}
}
}
}
return bestCombination;
}
int main()
{
int N;
cin >> N; // 输入宝石数量
vector<int> gems(N);
for (int i = 0; i < N; ++i)
cin >> gems[i]; // 输入每颗宝石的闪亮度
// 查找最大精美程度的宝石组合
vector<int> result = findMaxBeautyCombination(gems);
// 输出结果
for (int H : result)
cout << H << " ";
cout << endl;
return 0;
}