【线性代数 & C++】结合逆矩阵的克拉默法则

测绘工程师2024-04-26 10:46

1 原理

对于 n n n个变量、 n n n个方程的线性方程组 { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n n x n = b n , (1) \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n=b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots +a_{nn}x_n=b_n\end{cases}\tag{1} , ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn,(1)如果它的系数行列式 D ≠ 0 D\neq 0 D=0，则它有唯一解.

把方程组(1)写成矩阵方程 A x = b , (2) Ax=b,\tag{2} Ax=b,(2)因 ∣ A ∣ ≠ 0 \begin{vmatrix}A \end{vmatrix} \neq 0 A =0，故 A − 1 A^{-1} A−1存在.
方程(2)可以变换为 A − 1 A x = E x = x = A − 1 b . (3) A^{-1}Ax=Ex=x=A^{-1}b\tag{3}. A−1Ax=Ex=x=A−1b.(3)
即 x = A − 1 b . x=A^{-1}b. x=A−1b.

2 C++实现

采用新方法对博文【线性代数｜C++】克拉默法则的中测试案例进行再计算.

cpp 复制代码

//test.cpp文件
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <vector>

#include "CMatrix.h"

using namespace std;

bool PrintMat
(
  const vector<vector<double>> &vvMat
)
{
  for (int i = 0; i < vvMat.size(); i++)
  {
    for (int j = 0; j < vvMat[i].size(); j++)
    {
      cout << setw(5) << vvMat[i][j];
    }
    cout << endl;
  }
  
  return true;
}

int main()
{
    //系数阵
    vector<vector<double>> vvMatA{{ 2, 1,-5, 1},
                                  { 1,-3, 0,-6},
                                  { 0, 2,-1, 2},
                                  { 1, 4,-7, 6}};
    
    vector<vector<double>> vvMatb{{8}, {9},{-5}, {0}};//常数阵
    vector<vector<double>> vvMatTemp;//存储逆矩阵
    vector<vector<double>> vvMatRet;//存储方程解的矩阵
    
    //求逆矩阵
    if (false == CMatrix::GetInverseMat(vvMatA, vvMatTemp))
    {
        cout << "计算失败" << endl;
    }
    else
    {
        //逆矩阵与常数阵相乘
        if (false == CMatrix::MatMulti(vvMatTemp, vvMatb, vvMatRet))
        {
            cout << "计算失败" << endl;
        }
        else
        {
            PrintMat(vvMatRet);
        }
    } 

    return 0;
}

两种计算方法结果一致。

引用文献：《工程数学线性代数（第五版）》同济大学数学系编,高等教育出版社
以上为个人学习、练习的记录，如有错误，欢迎指正。