离散傅里叶变换学习-从一维到海洋模拟（一）

离散傅里叶变换的实现

  最近在朋友的点拨下，以及通过网上查阅的一些资料来看，实现了一维离散傅里叶变换到二维离散傅里叶变换，以至于到FFT的实现及相应的逆变换。对傅里叶变换这个很长时间以来都没有理解的东西，有了一个深刻的认识。所以就想总结一下其中的原理以及具体的实现过程。

  本文将会从一维离散傅里叶变换开始，逐步讲解到FFT的实现及相应逆变换的实现方法。以及FFT实现时使用的蝶形变换的具体操作方法。其中，还会罗列出所参考的资料。

一维傅里叶变换

  在实际操作之前，一定要有一个重要的认知，那就是傅里叶变换本质上是把一个函数转换成用另一种形式来表示。这就是经常说的，时域信号转成频域信号。但这都不重要，数学公式上来看，傅里叶公式如下，即等号左边的f(x)可以表示成等号右边的一个和式，这个公式的通俗解释就是，一个函数可以表示成正弦函数和余弦函数的和。而其中an和bn表示的就是一个权值。

  an和bn也是可以通过公式计算得到的，公式如下，可以看到是两个积分式。

  总结这两个公式，可以获得一个认知：

• 一个函数可以表示成不同频率的正弦函数和余弦函数的加权和。权值可以通过公式计算。
• 只要确定了权值an和bn，结合第一个公式，通过对不同频率的正弦函数和余弦函数进行加权求和，我们可以算出来对应f(x)的值。

  这里面有一个容易被忽视的点，那就是不同频率的正弦函数和余弦函数的组合，是固定的。所以最后只要确定权值an和bn即可，至此就可以知道，对一个函数进行傅里叶变换，要做的事情就是确定an和bn的值。通过手动计算当然很难，但是借助计算机却是可以的，对于原函数很难确定的积分公式，计算机也只能进行离散地计算以获得一个趋近于正确答案的结果，只要误差允许范围内，这没什么大问题。

  DFT做的事情，主要是在长度为N的离散信号中，针对k=(0,1,2...)，分别找出在长度N内振动k个周期的三角波分量的权值。举个例子，针对某个余弦信号，在两个周期内采样40次：
$$x$$ n = c o s ( 2 π n 2 ) , n = 0 , 1 , . . . , 39 xn = cos(2\pi\frac{n}2),n = 0,1,...,39 xn=cos(2π2n),n=0,1,...,39

  然后通过DFT可以知道它在40次采样周期内，震动了几个周期。算法的处理很暴力：

  首先，选取40个长度为40个点的基信号，它们分别长这样：
$$c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; 0\; n\; 40\; )\; ,\; c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; n\; 40\; )\; ,\; c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; 2\; n\; 40\; )\; .\; .\; .\; c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; 39\; n\; 40\; )\; cos(2\backslash pi\backslash frac\{0n\}\{40\}),cos(2\backslash pi\backslash frac\{n\}\{40\}),cos(2\backslash pi\backslash frac\{2n\}\{40\})...cos(2\backslash pi\backslash frac\{39n\}\{40\})$$cos(2π400n),cos(2π40n),cos(2π402n)...cos(2π4039n)

  第一个，40次采样内振动0个周期： $c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; 0\; n\; 40\; )\; cos(2\backslash pi\backslash frac\{0n\}\{40\})$cos(2π400n)，即常值:

  第二个，40次采样内振动1个周期： $c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; n\; 40\; )\; cos(2\backslash pi\backslash frac\{n\}\{40\})$cos(2π40n)

  以此类推，一直到40个采样内振动39个周期。

  接下来，对于上述每个基信号，判断它们跟原信号的相关程度，就是用他们在同一点的函数值相乘，并对结果求和（向量的内积），即如下的公式：
$$c\; o\; r\; r\; e\; l\; a\; t\; i\; o\; n\; (\; x\; ,\; y\; )\; =\; \Sigma \; k\; x$$ k y k correlation(x,y) = \Sigma_k xkyk correlation(x,y)=Σkxkyk

  这个值越大，则xk与yk越像。于是DFT把 $c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; 0\; n\; 40\; )\; cos(2\backslash pi\backslash frac\{0n\}\{40\})$cos(2π400n)到 $c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; 39\; n\; 40\; )\; cos(2\backslash pi\backslash frac\{39n\}\{40\})$cos(2π4039n)这40个基函数与当前函数 $c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; 2\; n\; 40\; )\; cos(2\backslash pi\backslash frac\{2n\}\{40\})$cos(2π402n)比较了一下，发现 $c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; 2\; n\; 40\; )\; cos(2\backslash pi\backslash frac\{2n\}\{40\})$cos(2π402n)和 $cos\; \; (\; 2\; \pi \; 38\; n\; 40\; )\; \backslash cos(2\backslash pi\backslash frac\{38n\}\{40\})$cos(2π4038n)长得最像。

  这也和那显然，因为 $c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; 38\; n\; 40\; )\; =\; c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; n\; -\; 2\; \pi \; 38\; n\; 40\; )\; =\; c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; 2\; n\; 40\; )\; cos(2\backslash pi\backslash frac\{38n\}\{40\})\; =\; cos(2\backslash pi\; n-2\backslash pi\; \backslash frac\{38n\}\{40\})\; =\; cos(2\backslash pi\; \backslash frac\{2n\}\{40\})$cos(2π4038n)=cos(2πn−2π4038n)=cos(2π402n)

  下面，如果我们把这40次每次比较的correlation值记下来，就得到了原信号在每个频率上的分量大小。就得到了所谓原信号的频域X：

  如果用频域信号替换原信号，则：
$$X\; k\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; N\; -\; 1\; x$$ n c o s ( 2 π k n N ) , ( N = 40 ) X_k = \sum_{n=0}^{N-1}xncos(2\pi \frac{kn}{N}), (N=40) Xk=n=0∑N−1xncos(2πNkn),(N=40)

  问题来了，虽然貌似联系很紧密，但这怎么跟DFT的公式长得不一样。。。DFT的公式应该是这样的：
$$X\; k\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; N\; -\; 1\; x$$ n e − 2 π j k n N X_k = \sum_{n=0}^{N-1} xne^{-2\pi j \frac{kn}{N}} Xk=n=0∑N−1xne−2πjNkn

  用欧拉公式展开，我们得到的时：
$$X\; k\; =\; \sum \; n\; -\; 0\; N\; -\; 1\; x$$ n c o s ( 2 π k n N ) − j ∑ n = 0 N − 1 x n s i n ( 2 π k n N ) X_k = \sum_{n-0}^{N-1} xncos(2\pi \frac{kn}{N}) - j\sum_{n=0}^{N-1}xnsin(2\pi \frac{kn}{N}) Xk=n−0∑N−1xncos(2πNkn)−jn=0∑N−1xnsin(2πNkn)

  这又是为什么呢？这是因为，对于一个信号，如果只跟余弦函数比较，会损失一些信息，比如相位。如果原信号有一些相位偏移， $x\; =\; c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; 2\; n\; 40\; +\; \pi \; 4\; )\; x\; =\; cos(2\backslash pi\; \backslash frac\{2n\}\{40\}\; +\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\})$x=cos(2π402n+4π)

  对这个函数同样按照上面的方法计算频域，结果会有些不一样:
$$X\; 2\; =\; X\; 3\; 8\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; 39\; c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; 2\; n\; 40\; +\; \pi \; 4\; )\; c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; 2\; n\; 40\; )\; =\; 10\; 2\; X\_2\; =\; X\_38\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{39\}cos(2\backslash pi\backslash frac\{2n\}\{40\}\; +\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\})cos(2\backslash pi\; \backslash frac\{2n\}\{40\})\; =\; 10\backslash sqrt2$$X2=X38=n=0∑39cos(2π402n+4π)cos(2π402n)=102

  如果再找一个信号y, 没有相位偏移，而是把幅值砍到 $2\; 2\; \backslash frac\{\backslash sqrt2\}\{2\}$22 ，即:
$$y\; =\; 2\; 2\; c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; 2\; n\; 40\; )\; y\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\; 2\}\{2\}\; cos(2\backslash pi\; \backslash frac\{2n\}\{40\})$$y=22 cos(2π402n)

  那么这个信号的DFT结果：
$$Y\; 2\; =\; Y\; 3\; 8\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; 39\; 2\; 2\; c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; 2\; n\; 40\; )\; c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; 2\; n\; 40\; )\; =\; 10\; 2\; Y\_2\; =\; Y\_38\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{39\}\backslash frac\{\backslash sqrt\; 2\}\{2\}cos(2\backslash pi\backslash frac\{2n\}\{40\})cos(2\backslash pi\backslash frac\{2n\}\{40\})=10\backslash sqrt2$$Y2=Y38=n=0∑3922 cos(2π402n)cos(2π402n)=102

  跟x信号的记过一模一样，这样就由于损失信息，无法通过频域恢复信号了。

  解决方法是另选一组以正弦函数（实际上选了负正弦）为基准的"基信号"，即 $-\; s\; i\; n\; (\; 2\; \pi \; 0\; n\; 40\; )\; -sin(2\backslash pi\backslash frac\{0n\}\{40\})$−sin(2π400n)到 $-\; s\; i\; n\; (\; 2\; \pi \; 39\; n\; 40\; )\; -sin(2\backslash pi\backslash frac\{39n\}\{40\})$−sin(2π4039n)，计算另一组原信号与正弦基的相关系数，这两组系数一起作为DFT的最终结果。而复数只是一个工具，用来方便地同时存储两组计算结果。当然它还有一个好处就是能够比较直观地表现出模和相位。

  选负正弦还是正弦做基信号其实无所谓，只是最后的结果算出来的相位反一下而已，幅值是一样的。如果一个信号跟某频率余弦和负正弦的相关系数分别为a,b，那么代表这个信号差不多型如：
$$a\; c\; o\; s\; (\; k\; n\; N\; )\; -\; b\; s\; i\; n\; (\; k\; n\; N\; )\; acos(\backslash frac\{kn\}\{N\})\; -\; bsin(\backslash frac\{kn\}\{N\})$$acos(Nkn)−bsin(Nkn)

  根据高中数学可以求得其模为 $a\; 2\; +\; b\; 2\; \backslash sqrt\{a^2+b^2\}$a2+b2 ，相对余弦的相位为 $a\; r\; c\; t\; a\; n\; (\; b\; a\; )\; arctan(\backslash frac\{b\}\{a\})$arctan(ab)，这与复数 $a\; +\; b\; i\; a+bi$a+bi的模和相位是相同的，因此DFT的公式相当于同时把xn做了跟N个余弦基、N个负正弦基的比对，结果用N个复数存储。如果想要看某个频率的相位和模，就看对应复数的相位和模。

  我们再来看看上面有相位偏移的那个例子：

  原信号： $x$ n = c o s ( 2 π 2 n 40 + π 4 ) xn = cos(2\pi\frac{2n}{40} + \frac{\pi}{4}) xn=cos(2π402n+4π)

  与余弦比对： $X\; 2\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; 39\; c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; 2\; n\; 40\; +\; \pi \; 4\; )\; c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; 2\; n\; 40\; )\; =\; 10\; 2\; X\_2\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{39\}cos(2\backslash pi\backslash frac\{2n\}\{40\}+\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\})cos(2\backslash pi\backslash frac\{2n\}\{40\})=10\backslash sqrt\{2\}$X2=∑n=039cos(2π402n+4π)cos(2π402n)=102

  与负正弦比对： $X\; 2\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; 39\; c\; o\; s\; (\; 2\; \pi \; 2\; n\; 40\; +\; \pi \; 4\; )\; s\; i\; n\; (\; -\; 2\; \pi \; 2\; n\; 40\; )\; =\; 10\; 2\; X\_2=\backslash sum\_\{n=0\}\{39\}cos(2\backslash pi\backslash frac\{2n\}\{40\}\; +\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\})sin(-2\backslash pi\backslash frac\{2n\}\{40\})=10\backslash sqrt\{2\}$X2=∑n=039cos(2π402n+4π)sin(−2π402n)=102

  在40个点内振动两个周期这个频率上，其DFT的结果为 $10\; 2\; +\; 10\; 2\; j\; 10\backslash sqrt\{2\}+10\backslash sqrt\{2\}j$102 +102 j

  其模为20，与其相位偏移前相同

  其相位也为 $\pi \; 4\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}$4π，也没有问题

  如果将原信号变为 $x$ n = s i n ( 2 π 2 n 40 + π 4 ) xn=sin(2\pi\frac{2n}{40}+\frac{\pi}{4}) xn=sin(2π402n+4π),会求得该频率DFT结果为 $10\; 2\; -\; 10\; 2\; j\; 10\backslash sqrt\{2\}-10\backslash sqrt\{2\}j$102 −102 j，求得其相位为 $-\; \pi \; 4\; -\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}$−4π。因此，根据DFT结果求得的相位是相对余弦信号的相位。****

一维离散傅里叶变换的逆变换

  一维离散傅里叶逆变换的公式如下：

  具体的公式推导我不太理解，所以就不讲了。其中，要还原的目标，即原函数的值。则是由经过DFT变换得到的结果，即一组各个频率正交基的系数。当初在大学期间，看这个公式时，有一个很疑惑的点是左边的值是一个实数，右边的公式中是DFT的结果，看着也像是实数，然后又是一个e的指数形式，很困惑。这个疑惑不知道大家有没有，这里就特别提一下，在这个公式中，其实是复数。是DFT的结果，也是复数，而，由欧拉公式可以知道，也是复数。所以这个公式中右边部分是复数相乘并求和的结果，左边自然是也是复数。最后的得到的复数，实部就是我们想要的结果，虚部会计算变为0

C++实现一维离散傅里叶变换

  示例代码仓库地址

二维离散傅里叶变换及其逆变换

  二维离散傅里叶变换的公式有一维离散傅里叶变换相比，就是多了一层求和，公式如下：

  逆变换的公式如下：

  在代码的实现上，就是从两层循环，变成了4层循环。我用一张图片作为例子，来实现二维离散傅里叶变换及其逆变换。程序加载图片但只对它的R通道进行处理，将傅里叶变换的结果输出成图像。并将逆变换的结果输出成图像，和原图像进行对比。

  程序需要依赖stb_image.h及stb_image_write.h图形库，具体的使用方法可以直接参考代码的示例。图片用的是缩小版本的lena的照片，不过只取了R通道。

  

  首先实现一个Image的类，用于对图形数据的提取，下面的图给出类的声明、构造和析构方法。实现加载图片的逻辑。加载出来的图片，用一维浮点数组保存，且拆分成RGB三个通道，索引时根据x和y计算整数索引来取数图片中的值。在这篇示例中，只需要关注R通道即可。

  

  在main函数里，使用刚刚定义的类实现加载和保存的逻辑。

  

  然后我们需要在加载图片之后，实现DFT方法，并将结果保存为dft_result.png。

  

  如果将DFT的模输出成图像，是下面这张图

  

  为了让其显像，做一个取对数的操作，是下面这张图。

  

  这也和我们常见频谱图像有区别，而如何从上面这张图变换得到下面这张图，下文再进行介绍。

  

  接着实现IDFT方法，并将结果保存为output.png。

  

  可以看到，输出的结果与原图一致。如下图是转换过程，最左边是原图，最右边是复原图，中间是DFT的结果。肉眼无法分辨出差别，而实际上，两张图的差值是0。

  

  而对于下面这张频谱图像的获得，实际上是对DFT的结果做了一些操作。并且对图像进行处理，使其能够显像，这在冈萨雷斯的《数字图像处理》一书中也有体现。代码就不贴了，可以看Image类的GenerateSpectrum方法。

  

  

  

  所以，对于DFT结果和频谱图像之间的关系，就讲清楚了。其实如果只是写程序实现这个过程，频谱图像是不必要关心的，但是频谱图像对于。更应该关注的是DFT的结果是如何存储的，以及如何复原原图像。下面要介绍的FFT利用一些定理对DFT加速，得到的结果和DFT一致。二维DFT的代码也上传到仓库里。

  二维离散傅里叶变换的代码仓库

参考资料

如何通俗地解释什么是离散傅里叶变换？ - 知乎 (zhihu.com)