【算法基础实验】图论-UnionFind连通性检测之quick-find

Union-Find连通性检测之quick-find

理论基础

在图论和计算机科学中，Union-Find 或并查集是一种用于处理一组元素分成的多个不相交集合（即连通分量）的情况，并能快速回答这组元素中任意两个元素是否在同一集合中的问题。Union-Find 特别适用于连通性问题，例如网络连接问题或确定图的连通分量。

Union-Find 的基本操作

Union-Find 数据结构支持两种基本操作：

Union（合并）: 将两个元素所在的集合合并成一个集合。
Find（查找）: 确定某个元素属于哪个集合，这通常涉及找到该集合的"代表元素"或"根元素"。

Union-Find 的结构

Union-Find 通常使用一个整数数组来表示，其中每个元素的值指向它的父节点，这样形成了一种树形结构。集合的"根元素"是其自己的父节点。

Union-Find 的优化技术

为了提高效率，Union-Find 实现中常用两种技术：

路径压缩（Path Compression）: 在执行"查找"操作时，使路径上的每个节点都直接连接到根节点，从而压缩查找路径，减少后续操作的时间。
按秩合并（Union by Rank）: 在执行"合并"操作时，总是将较小的树连接到较大的树的根节点上。这里的"秩"可以是树的深度或者树的大小。

应用示例

Union-Find 算法常用于处理动态连通性问题，如网络中的连接/断开问题或者图中连通分量的确定。例如，Kruskal 的最小生成树算法就使用 Union-Find 来选择边，以确保不形成环路。

总结

Union-Find 是解决连通性问题的一种非常高效的数据结构。它能够快速合并集合并快速判断元素之间的连通性。通过路径压缩和按秩合并的优化，Union-Find 在实际应用中可以接近常数时间完成操作。因此，它在算法竞赛、网络连接和社交网络分析等领域有广泛的应用。

数据结构

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private int[] id // 分量id（以触点作为索引）
private int count // 分量数量

实验数据和算法流程

本实验使用tinyUF.txt作为实验数据，数据内容如下，一共定义了10对连通性关系

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实验的目的是检测数据中共有多少个连通分量，并打印每个元素所属的连通分量编号

下图是处理元素5和9的一个处理瞬间

完整流程如下

代码实现

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import edu.princeton.cs.algs4.StdOut;
import edu.princeton.cs.algs4.StdIn;

public class myQuickFind
{
    private int[] id; // 分量id（以触点作为索引）
    private int count; // 分量数量
    public myQuickFind(int N)
    { // 初始化分量id数组
        count = N;
        id = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; i++)
            id[i] = i;
    }
    public int count()
    { return count; }
    public boolean connected(int p, int q)
    { return find(p) == find(q); }

    public int find(int p)
    { return id[p]; }

    public void union(int p, int q)
    { // 将p和q归并到相同的分量中
        int pID = find(p);
        int qID = find(q);
        // 如果p和q已经在相同的分量之中则不需要采取任何行动
        if (pID == qID) return;
        // 将p的分量重命名为q的名称
        for (int i = 0; i < id.length; i++)
            if (id[i] == pID) id[i] = qID;
        count--;
    }

    public static void main(String[] args)
    { // 解决由StdIn得到的动态连通性问题
        int N = StdIn.readInt(); // 读取触点数量
        myQuickFind qf = new myQuickFind(N); // 初始化N个分量
        while (!StdIn.isEmpty())
        {
            int p = StdIn.readInt();
            int q = StdIn.readInt(); // 读取整数对
            if (qf.connected(p, q)) continue; // 如果已经连通则忽略
            qf.union(p, q); // 归并分量
        }
        StdOut.println(qf.count() + " components");
        for(int i = 0;i<N;i++){
            StdOut.println(i + ":"+qf.find(i));
        }
    }
}

代码详解

这段代码实现了一种名为 Quick-Find 的并查集算法，用来解决动态连通性问题。下面是详细的代码解读：

类定义和变量

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public class myQuickFind {
    private int[] id; // 分量id（以触点作为索引）
    private int count; // 分量数量

id 数组用来存储每个节点的分量标识。在 Quick-Find 中，id 数组的每个位置的值表示那个位置所属的组。
count 记录当前图中连通分量的数量。

构造函数

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public myQuickFind(int N) {
    count = N;
    id = new int[N];
    for (int i = 0; i < N; i++)
        id[i] = i;
}

构造函数接受一个整数 N ，表示图中节点的数量。初始时，每个节点自成一个连通分量，即每个节点都是自己的代表，因此 id[i] 初始化为 i。

辅助方法

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public int count() { return count; }
public boolean connected(int p, int q) { return find(p) == find(q); }
public int find(int p) { return id[p]; }

count() 返回当前连通分量的数量。
connected(p, q) 检查两个节点是否属于同一个连通分量。
find(p) 查找节点 p 的连通分量标识。

Union 操作

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public void union(int p, int q) {
    int pID = find(p);
    int qID = find(q);
    if (pID == qID) return; // 如果p和q已经在相同的分量之中则不需要采取任何行动
    for (int i = 0; i < id.length; i++)
        if (id[i] == pID) id[i] = qID;
    count--;
}

union(p, q) 方法用于合并包含节点 p 和 q 的两个连通分量。如果两者已经在同一个连通分量中，则不做任何操作。否则，遍历 id 数组，将所有属于 p 的连通分量的节点都重新标记为属于 q 的连通分量。

主函数

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public static void main(String[] args) {
    int N = StdIn.readInt(); // 读取触点数量
    myQuickFind qf = new myQuickFind(N); // 初始化N个分量
    while (!StdIn.isEmpty()) {
        int p = StdIn.readInt();
        int q = StdIn.readInt(); // 读取整数对
        if (qf.connected(p, q)) continue; // 如果已经连通则忽略
        qf.union(p, q); // 归并分量
    }
    StdOut.println(qf.count() + " components");
    for(int i = 0;i<N;i++){
        StdOut.println(i + ":"+qf.find(i));
    }
}

主函数从标准输入读取节点数量和一系列整数对。对于每对整数，如果它们不属于同一个连通分量，则调用 union 方法将它们合并。程序的最终输出是图中的连通分量数量，以及每个节点的连通分量标识。

Quick-Find 的性能

Quick-Find 算法的缺点在于 union 操作的高成本，它需要 O(N) 时间来处理每次合并操作，这在处理大量操作时可能变得非常慢。尽管如此，它的 find 操作非常快，只需常数时间 O(1)。因此，这种数据结构适用于不频繁进行 union 操作但需要频繁进行连通性检查的场景。

实验

代码编译

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javac myQuickFind.java

代码运行

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java myQuickFind < ..\data\tinyUF.txt 
2 components
0:1
1:1
2:1
3:8
4:8
5:1
6:1
7:1
8:8
9:8

参考资料

算法（第四版）人民邮电出版社