在matlab中，gradient函数可以很方便的对均匀网格进行梯度计算，但是对于非均匀网格，但是gradient却无法求解非均匀网格的梯度，这一点我之前犯过错误。我之前以为在gradient函数中指定x，y等坐标，其求解的就是非均匀网格梯度了，然而并不是。
于是，今天下午开始写非均匀网格求梯度的函数。
首先，函数的要求为：
1、边界处采用二阶偏心差分
2、内部网格点采用二阶中心差分
3、计算三维矩阵的梯度
明确目标之后，我们首先进行理论推导：
理论推导
1、内部网格点
对a1和a3两点分别进行泰勒展开，公式如下：
a 3 = a 2 + a ˙ 2 Δ x 2 + 1 2 a ¨ 2 Δ x 2 2 + O ( Δ x 2 3 ) 1 ◯ a 1 = a 2 − a ˙ 2 Δ x 1 + 1 2 a ¨ 2 Δ x 1 2 + O ( Δ x 1 3 ) 2 ◯ a_{3}=a_{2}+\dot{a}{2}\Delta x{2}+\frac{1}{2}\ddot{a}{2}\Delta x{2}^{2}+O(\Delta x_{2}^{3})\textcircled{1} \\a_{1}=a_{2}-\dot{a}{2}\Delta x{1}+\frac{1}{2}\ddot{a}{2}\Delta x{1}^{2}+O(\Delta x_{1}^{3})\textcircled{2} a3=a2+a˙2Δx2+21a¨2Δx22+O(Δx23)1◯a1=a2−a˙2Δx1+21a¨2Δx12+O(Δx13)2◯
最终得到
2、边界点
理论部分结束，下面进入代码部分
代码部分
首先，我写了一个1D的函数
matlab
function dydx = calc_grad_1D(x,y)
%% 求解一维数组的梯度
%% input1:一维函数坐标-->x
%% input2：一维函数值-->y
dydx = zeros(1,length(x));
for i = 1:length(x)
if i>1 && i<length(x)
deltax1 = x(i)-x(i-1);
deltax2 = x(i+1)-x(i);
son = (y(i+1)*deltax1^2-y(i-1)*deltax2^2-y(i)*(deltax1^2-deltax2^2));
mom = (deltax2*deltax1^2+deltax1*deltax2^2);
dydx(i) = son/mom;
elseif i==1
n = (x(3)-x(1))/(x(2)-x(1));
son = y(i+2)-y(i+1)*n^2-(1-n^2)*y(i);
mom = (n-n^2)*(x(i+1)-x(i));
dydx(i)=son/mom;
elseif i==length(x)
n = (x(i)-x(i-2))/(x(i)-x(i-1));
son = y(i-2)-y(i-1)*n^2-(1-n^2)*y(i);
mom = (n-n^2)*(x(i)-x(i-1));
dydx(i)=-son/mom;
end
end
end接下来验证该函数的准确性
matlab
x = [1 2 4 7 10];
y = x.^2;
%%
dydx = calc_grad_1D(x,y);
%%
dydx_ana = 2.*x;
plot(x,dydx_ana,'-*')
hold on
plot(x,dydx,'-o')
xlabel('x');ylabel('dydx')
legend('理论值','数值解')
接下来我们进行3D矩阵的梯度求解，思想是调用上述的1D求解函数。
代码如下：
matlab
function [dfdx,dfdy,dfdz] = calc_grad_3D(F,X,Y,Z)
%UNTITLED26 此处提供此函数的摘要
% 此处提供详细说明
nx = size(X,1);ny = size(Y,2);nz = size(Z,3);
dfdx = zeros(nx,ny,nz);dfdy = zeros(nx,ny,nz);dfdz = zeros(nx,ny,nz);
for j = 1:ny
for k = 1:nz
dfdx(:,j,k) = calc_grad_1D(X(:,j,k),F(:,j,k));
end
end
for i = 1:nx
for k = 1:nz
dfdy(i,:,k) = calc_grad_1D(Y(i,:,k),F(i,:,k));
end
end
for i = 1:nx
for j = 1:ny
dfdz(i,j,:) = calc_grad_1D(Z(i,j,:),F(i,j,:));
end
end
end具体案例是求解函数 F = x 2 + y 2 + z 2 F=x^2+y^2+z^2 F=x2+y2+z2在三个方向的梯度
matlab
clc;clear
x = 1:10;y = x;z = x;
[X,Y,Z] = ndgrid(x,y,z);
F = X.^3+Y.^2+Z.^3;
%%
[dFdy,dFdx,dFdz] = gradient(F,Y(1,:,1),X(:,1,1),Z(1,1,:));
%%
[dfdx,dfdy,dfdz] = calc_grad_3D(F,X,Y,Z);
%% 理论解与数值解对比
dfdy_ana = 2.*(Y);
dfdy_ana = reshape(dfdy_ana,1000,1);
dfdy = reshape(dfdy,1000,1);
dFdy = reshape(dFdy,1000,1);
c = abs(dfdy-dfdy_ana);
d = abs(dFdy-dfdy_ana);
plot(c,'-o')
hold on
plot(d,'-o')
%% 绘图设置
axis([0 1000 0 2])
legend('My code','MATLAB gradient')
ylabel('误差')结果如下：
可以看出，matlab里的gradient函数由于在边界上采用一阶差分，因此存在误差，而我们的函数内部点和边界点都采用二阶精度，因此误差为0。