组合数问题 - 技术栈

1.直接用递推：

下面是AC代码"：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2010,mod=1e9+7;
int a[N][N];
void init()
{
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        for(int j=0;j<=i;j++)
        {
            if(j==0) a[i][j]=1;
            else a[i][j]=(a[i-1][j]+a[i-1][j-1])%mod;
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a1,b;
        scanf("%d%d",&a1,&b);
        printf("%d\n",a[a1][b]);
    }
}

2.预处理阶乘：

下面是AC代码：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010,mod=1e9+7;
typedef long long LL;
int fact[N],infact[N];
int qq(int a,int k,int p)
{
    int res=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) res=(LL)res*a%p;
        a=(LL)a*a%p;
        k>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    fact[0]=infact[0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++)
    {
        fact[i]=(LL)fact[i-1]*i%mod;
        infact[i]=(LL)infact[i-1]*qq(i,mod-2,mod)%mod;
    }
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        printf("%d\n",(LL)fact[a]*infact[b]%mod*infact[a-b]%mod);
    }
}

3.卢卡斯定理：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int p;
int qmi(int a,int k)
{
    int res=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) res=(LL)res*a%p;
        a=(LL)a*a%p;
        k>>=1;
    }
    return res;
}
int C(int a,int b)
{
    int res=1;
    for(int i=1,j=a;i<=b;i++,j--)
    {
        res=(LL)res*j%p;
        res=(LL)res*qmi(i,p-2)%p;
        
    }
    return res;
}
int lu(LL a,LL b)
{
    if(a<p&&b<p) return C(a,b);
    return (LL)C(a%p,b%p)*lu(a/p,b/p)%p;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        LL a,b;
        cin>>a>>b>>p;
        cout<<lu(a,b)<<endl;
    }
}

4.分解质因数+高精度：

那么如何求阶乘的质因数？

我们先把5000范围里的素数筛出来，然后对于一个素数 $a/p$ + $a/p\^2$ +...即可，这样我们就把组合数转换成了质因数，再高精度乘法即可。

下面是AC代码：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5010;
int prime[N],cnt;
bool st[N];
int sum[N];
void init(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i]) prime[cnt++]=i;
        for(int j=0;prime[j]<=n/i;j++)
        {
            st[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0) break; 
        }
    }
}
int get(int n,int p)//n!中p的个数
{
    int res=0;
    while(n)
    {
        res+=n/p;
        n/=p;
    }
    return res;
}
vector<int> mul(vector<int> a,int b)
{
    vector<int> c;
    int t=0;
    for(int i=0;i<a.size();i++)
    {
        t+=a[i]*b;
        c.push_back(t%10);
        t/=10;
    }
    while(t)
    {
        c.push_back(t%10);
        t/=10;
    }
    return c;
}
int main()
{
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    init(a);
    for(int i=0;i<cnt;i++)
    {
        int p=prime[i];
        sum[i]=get(a,p)-get(b,p)-get(a-b,p);
    }
    //把所有质因子乘骑来
    vector<int> res;
    res.push_back(1);
    for(int i=0;i<cnt;i++)
    {
        for(int j=0;j<sum[i];j++)
        {
            res=mul(res,prime[i]);
        }
    }
    for(int i=res.size()-1;i>=0;i--) printf("%d",res[i]);
}

5.卡特兰数

这样我们把序列转化成了一条条路径：

同时要满足条件：始终在y=x的下面，不可以与y=x+1有接触

我们找到第一次交的点，把后面的关于y=x+1对称，最终一定到（n-1,n+1)。

答案就是(2n,n-C2n,n-1，化简就是C2n,n/(n+1)