从零学算法42

42.接雨水

给定 n 个非负整数表示每个宽度为 1 的柱子的高度图,计算按此排列的柱子,下雨之后能接多少雨水。

示例 1:

输入:height = [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1]

输出:6

解释:上面是由数组 [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1] 表示的高度图,在这种情况下,可以接 6 个单位的雨水(蓝色部分表示雨水)。

示例 2:

输入:height = [4,2,0,3,2,5]

输出:9

提示:

n == height.length

1 <= n <= 2 * 10^4^

0 <= height[i] <= 10^5^

  • 我的原始人解法:遍历每个高度,然后从当前高度往后找,如果存在大于等于它的高度,就计算一次收集的雨水。比如 [4,1,2,5],那么收集的雨水量就是 (4-4) + (4-1) + (4-2),如果没有比它大的,由于雨水量只取决于低的高度,所以我们可以将其更新成他后面的第二高的高度,下一轮继续处理这一处,看能够和后面大于等于它的高度接多少雨水。
java 复制代码
  public int trap(int[] height) {
      int n = height.length;
      int res = 0;
      for(int i = 0; i < n - 1; i++){
          int j = i + 1;
          int max = Integer.MIN_VALUE;
          while(j < n && height[j] < height[i]){
              max = Math.max(max, height[j]);
              j++;
          }
          // 后面存在大于等于它的高度
          if(j < n){
              res += sum(height, i, j);
              i = j - 1;
          }else{
              height[i] = max;
              i -= 1;
          }
      }
      return res;
  }
  // 计算 start ~ end 的雨水
  public int sum(int[] height, int start, int end){
      int sum = 0;
      for(int i = start; i < end; i++){
          sum += height[start] - height[i];
      }
      return sum;
  }
  • 前后缀分解:其实某一处的高度能否和前后组成接雨水的桶,取决于前后最大高度中的小的那个,所以求出对于每一个 height[i] 它的前面最大值 preMax[i] (0~i) 以及后面最大值 sufMax[i] (i~n-1) 就能知道这一处所能接的雨水量。比如 [1,2,0,3,5],对于 height[2] 的 0 来说,preMax[2] = 2, sufMax[2] = 5,那么它能储存的雨水就是 min(preMax[2],sufMax[2]) - height[2]
java 复制代码
  public int trap(int[] height) {
      int n = height.length;
      int[] preMax = new int[n];
      preMax[0] = height[0];
      for(int i = 1; i < n; i++){
          preMax[i] = Math.max(preMax[i-1], height[i]);
      }

      int[] sufMax = new int[n];
      sufMax[n-1] = height[n-1];
      for(int i = n-2; i >= 0; i--){
          sufMax[i] = Math.max(sufMax[i+1], height[i]);
      }

      int res = 0;
      for(int i = 0; i < n; i++){
          res += Math.min(preMax[i], sufMax[i]) - height[i];
      }
      return res;
  }
  • 相向双指针: 根据上个解法可以优化,由于我们对于 preMax 以及 sufMax 数组的每个值都只需要在遍历到对应下标时用到一次,所以我们可以尝试用双指针和两个变量代替数组。遍历时不断更新 left 对应的 preMax 以及 right 对应的 sufMax,哪个 max 更小我们就将哪一边可以接的雨水计算一遍,对于这一边来说,和使用数组是等效的,而另一边如果实际上的 max 更大,那我们依旧是取这一边,所以没有影响。比如 [1,0,20,1],当我们遍历到高度为 0 处时,我们的 preMax=1, sufMax = 1,然后实际上 preMax=1, sufMax = 20,但这并不影响我们最终的计算结果,因为可接雨水只和更小的最大值有关,所以我们都取了小于等于 sufMax 的 preMax。即我们计算高度的那一边的 max 是实际上的 max,而另一边的 max 只可能大于等于这一边的 max,大于或等于都对结果无法造成影响。
java 复制代码
  public int trap(int[] height) {
      int res = 0;
      int left = 0, right = height.length - 1;
      int preMax = 0, sufMax = 0;
      while(left < right){
          preMax = Math.max(preMax, height[left]);
          sufMax = Math.max(sufMax, height[right]);
          res += preMax <= sufMax? preMax - height[left++] : sufMax - height[right--];
      }
      return res;
  }
  • 单调栈:以上的解法为计算每一列的雨水相加,而单调栈则为计算每一行的雨水。令单调栈存储高度降低的趋势,比如 [2,1],当遇到上升趋势时(高度大于栈顶元素对应高度,此例为 1)就能计算该区间某一行的雨水,比如遇到了 3,那么 [2,1,3] 就组成一个高度降低又上升的图形,即形成了一个桶。
  • 雨水的面积我们采用长乘宽的形式计算,高我们需要取短边,即 2 和 3 中的 2,但还需要减去底边的高度,即高为 min(2,3) - 1,而宽则为 2,3 间相差的距离,为了计算宽度我们的栈就不能存储高度了,需要改为存储对应下标。这样比如 height = [2,1,3],我们的栈会存储 [0,1],遍历到 2 时高还是一样为 min(height[0],height[2]) - height[1],而宽直接就是 2 - 0 - 1
  • 单调栈算法的执行过程可以参考官方题解示意图
java 复制代码
  public int trap(int[] height) {
      int res = 0;
      Stack<Integer> stack = new Stack<>();
      for(int right = 0; right < height.length; right++){
      	// 遇到上升趋势表示可能有桶了,因为如果前面没有下降趋势就还是没有桶,所以说可能
          while(!stack.isEmpty() && height[right] > height[stack.peek()]){
          	// 底边
              int bottom = stack.pop();
              // 如果前面没有高度了就没法组成桶了
              if(stack.isEmpty())break;
              // 左高度
              int left = stack.peek();
              // 宽为右高度下标 - 左高度下标 - 1
              int currentWidth = right - left - 1;
              // 高为小高度减底边高度
              int currentHeight = Math.min(height[left], height[right]) - height[bottom];
              res += currentWidth * currentHeight;
          }
          stack.push(right);
      }
      return res;
  }
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