从零学算法42 - 技术栈

42.接雨水

给定 n 个非负整数表示每个宽度为 1 的柱子的高度图，计算按此排列的柱子，下雨之后能接多少雨水。

示例 1：

输入：height = $0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1$

输出：6

解释：上面是由数组 $0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1$ 表示的高度图，在这种情况下，可以接 6 个单位的雨水（蓝色部分表示雨水）。

示例 2：

输入：height = $4,2,0,3,2,5$

输出：9

提示：

n == height.length

1 <= n <= 2 * 10⁴

0 <= height $i$ <= 10⁵

我的原始人解法：遍历每个高度，然后从当前高度往后找，如果存在大于等于它的高度，就计算一次收集的雨水。比如 $4,1,2,5$ ，那么收集的雨水量就是 (4-4) + (4-1) + (4-2)，如果没有比它大的，由于雨水量只取决于低的高度，所以我们可以将其更新成他后面的第二高的高度，下一轮继续处理这一处，看能够和后面大于等于它的高度接多少雨水。

java 复制代码

  public int trap(int[] height) {
      int n = height.length;
      int res = 0;
      for(int i = 0; i < n - 1; i++){
          int j = i + 1;
          int max = Integer.MIN_VALUE;
          while(j < n && height[j] < height[i]){
              max = Math.max(max, height[j]);
              j++;
          }
          // 后面存在大于等于它的高度
          if(j < n){
              res += sum(height, i, j);
              i = j - 1;
          }else{
              height[i] = max;
              i -= 1;
          }
      }
      return res;
  }
  // 计算 start ~ end 的雨水
  public int sum(int[] height, int start, int end){
      int sum = 0;
      for(int i = start; i < end; i++){
          sum += height[start] - height[i];
      }
      return sum;
  }

前后缀分解：其实某一处的高度能否和前后组成接雨水的桶，取决于前后最大高度中的小的那个，所以求出对于每一个 height $i$ 它的前面最大值 preMax $i$ (0~i) 以及后面最大值 sufMax $i$ (i~n-1) 就能知道这一处所能接的雨水量。比如 $1,2,0,3,5$ ,对于 height $2$ 的 0 来说，preMax $2$ = 2, sufMax $2$ = 5，那么它能储存的雨水就是 min(preMax[2],sufMax[2]) - height[2]

java 复制代码

  public int trap(int[] height) {
      int n = height.length;
      int[] preMax = new int[n];
      preMax[0] = height[0];
      for(int i = 1; i < n; i++){
          preMax[i] = Math.max(preMax[i-1], height[i]);
      }

      int[] sufMax = new int[n];
      sufMax[n-1] = height[n-1];
      for(int i = n-2; i >= 0; i--){
          sufMax[i] = Math.max(sufMax[i+1], height[i]);
      }

      int res = 0;
      for(int i = 0; i < n; i++){
          res += Math.min(preMax[i], sufMax[i]) - height[i];
      }
      return res;
  }

相向双指针: 根据上个解法可以优化，由于我们对于 preMax 以及 sufMax 数组的每个值都只需要在遍历到对应下标时用到一次，所以我们可以尝试用双指针和两个变量代替数组。遍历时不断更新 left 对应的 preMax 以及 right 对应的 sufMax，哪个 max 更小我们就将哪一边可以接的雨水计算一遍，对于这一边来说，和使用数组是等效的，而另一边如果实际上的 max 更大，那我们依旧是取这一边，所以没有影响。比如 $1,0,20,1$ ，当我们遍历到高度为 0 处时，我们的 preMax=1, sufMax = 1，然后实际上 preMax=1, sufMax = 20，但这并不影响我们最终的计算结果，因为可接雨水只和更小的最大值有关，所以我们都取了小于等于 sufMax 的 preMax。即我们计算高度的那一边的 max 是实际上的 max，而另一边的 max 只可能大于等于这一边的 max，大于或等于都对结果无法造成影响。

java 复制代码

  public int trap(int[] height) {
      int res = 0;
      int left = 0, right = height.length - 1;
      int preMax = 0, sufMax = 0;
      while(left < right){
          preMax = Math.max(preMax, height[left]);
          sufMax = Math.max(sufMax, height[right]);
          res += preMax <= sufMax? preMax - height[left++] : sufMax - height[right--];
      }
      return res;
  }

单调栈：以上的解法为计算每一列的雨水相加，而单调栈则为计算每一行的雨水。令单调栈存储高度降低的趋势，比如 $2,1$ ，当遇到上升趋势时（高度大于栈顶元素对应高度，此例为 1）就能计算该区间某一行的雨水，比如遇到了 3，那么 $2,1,3$ 就组成一个高度降低又上升的图形，即形成了一个桶。
雨水的面积我们采用长乘宽的形式计算，高我们需要取短边，即 2 和 3 中的 2，但还需要减去底边的高度，即高为 min(2,3) - 1，而宽则为 2,3 间相差的距离，为了计算宽度我们的栈就不能存储高度了，需要改为存储对应下标。这样比如 height = $2,1,3$ ，我们的栈会存储 $0,1$ ，遍历到 2 时高还是一样为 min(height[0],height[2]) - height[1]，而宽直接就是 2 - 0 - 1
单调栈算法的执行过程可以参考官方题解示意图

java 复制代码

  public int trap(int[] height) {
      int res = 0;
      Stack<Integer> stack = new Stack<>();
      for(int right = 0; right < height.length; right++){
      	// 遇到上升趋势表示可能有桶了，因为如果前面没有下降趋势就还是没有桶，所以说可能
          while(!stack.isEmpty() && height[right] > height[stack.peek()]){
          	// 底边
              int bottom = stack.pop();
              // 如果前面没有高度了就没法组成桶了
              if(stack.isEmpty())break;
              // 左高度
              int left = stack.peek();
              // 宽为右高度下标 - 左高度下标 - 1
              int currentWidth = right - left - 1;
              // 高为小高度减底边高度
              int currentHeight = Math.min(height[left], height[right]) - height[bottom];
              res += currentWidth * currentHeight;
          }
          stack.push(right);
      }
      return res;
  }