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Python实现)
问题描述
- 下图是由 14 14 14个" + + +"和 14 14 14个" − - −"组成的符号三角形， 2 2 2个同号下面都是" + + +"， 2 2 2个异号下面都是" − - −"
- 在一般情况下，符号三角形的第一行有 n n n个符号，符号三角形问题要求对于给定的 n n n，计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的" + + +"和" − - −"的个数相同
回溯法
- 对于符号三角形问题，用 n n n元组 x [ 1 : n ] x[1 : n] x[1:n]表示符号三角形的第一行的 n n n个符号，由于 x [ i ] x[i] x[i]是二值的，所以在用回溯法解符号三角形问题时，可以用一棵完全二叉树来表示其解空间
- 在符号三角形的第一行的前 i i i个符号 x [ 1 : i ] x[1 : i] x[1:i]确定后，就确定了一个由 i ( i + 1 ) / 2 i (i + 1) / 2 i(i+1)/2个符号组成的符号三角形，下一步确定 x [ i + 1 ] x[i + 1] x[i+1]的值后，只要在前面已确定的符号三角形的右边加一条边，就可以扩展为 x [ 1 : i + 1 ] x[1 : i + 1] x[1:i+1]相应的符号三角形
- 最终由 x [ 1 : n ] x[1 : n] x[1:n]所确定的符号三角形中包含的" + + +"个数与" − - −"个数同为 n ( n + 1 ) / 4 n (n + 1) / 4 n(n+1)/4，因此在回溯搜索过程中，可用当前符号三角形所包含的" + + +"个数与" − - −"个数均不超过 n ( n + 1 ) / 4 n (n + 1) / 4 n(n+1)/4作为可行性约束，用于剪去不满足约束的子树
- 当 i = n i = n i=n时，算法搜索至叶节点，得到一个新的" + + +"个数与" − - −"个数相同的符号三角形，当前已找到符号三角形数 s u m sum sum增 1 1 1
- 当 i < n i < n i<n时，当前扩展结点 Z Z Z是解空间中的内部结点，对当前扩展结点 Z Z Z的每个儿子结点，计算其相应的符号三角形中" + + +"个数与" − - −"个数，并以深度优先的方式递归地对可行子树进行搜索，或剪去不可行子树
- 对于给定的 n n n，当 n ( n + 1 ) / 2 n (n + 1) / 2 n(n+1)/2为奇数时，显然不存在所包含的" + + +"个数与" − - −"个数相同的符号三角形，此时可以通过简单的判断加以处理
时间复杂性
- 更新符号三角形矩阵需要 O ( n ) O(n) O(n)时间，在最坏情况下，有 O ( 2 n ) O(2^{n}) O(2n)个结点需要更新符号三角形矩阵
- 所以解符号三角形问题的回溯算法所需的计算时间为 O ( n 2 n ) O(n 2^{n}) O(n2n)
Python实现
python
def symbol_triangle(n):
if (n * (n + 1) // 2) % 2:
return 0
half = n * (n + 1) // 4
count = 0 # 记录符合条件的符号三角形数量
# 初始化符号三角形矩阵
path = [[''] * n for _ in range(n)]
def backtrack(row, col, path, plus_count, minus_count):
nonlocal count
# 边界条件: 当列数等于 n 时, 表示已经生成了符号三角形的一种排列
if col == n:
if plus_count == minus_count:
count += 1
print(path)
return
# 尝试当前位置为 +
path[row][col] = '+'
plus_count += 1
# 更新符号三角形矩阵
cur_col = col
for i in range(1, cur_col + 1):
if path[i - 1][cur_col - 1] == path[i - 1][cur_col]:
path[i][cur_col - 1] = '+'
plus_count += 1
else:
path[i][cur_col - 1] = '-'
minus_count += 1
cur_col -= 1
# 检查是否满足条件, 继续生成下一行的符号
if plus_count <= half and minus_count <= half:
backtrack(row, col + 1, path, plus_count, minus_count)
# 恢复回溯之前状态
cur_col = col
for i in range(cur_col + 1):
if path[i][cur_col] == '+':
path[i][cur_col] = ''
plus_count -= 1
else:
path[i][cur_col] = ''
minus_count -= 1
cur_col -= 1
# 尝试当前位置为 -
path[row][col] = '-'
minus_count += 1
# 更新符号三角形矩阵
cur_col = col
for i in range(1, cur_col + 1):
if path[i - 1][cur_col - 1] == path[i - 1][cur_col]:
path[i][cur_col - 1] = '+'
plus_count += 1
else:
path[i][cur_col - 1] = '-'
minus_count += 1
cur_col -= 1
# 检查是否满足条件, 继续生成下一行的符号
if plus_count <= half and minus_count <= half:
backtrack(row, col + 1, path, plus_count, minus_count)
backtrack(0, 0, path, 0, 0)
return count
n = 4
print('满足条件的符号三角形如下:')
count = symbol_triangle(n)
print(f'符号三角形数量: {count}')
shell
满足条件的符号三角形如下:
[['+', '+', '-', '+'], ['+', '-', '-', ''], ['-', '+', '', ''], ['-', '', '', '']]
[['+', '+', '-', '-'], ['+', '-', '+', ''], ['-', '-', '', ''], ['+', '', '', '']]
[['+', '-', '+', '+'], ['-', '-', '+', ''], ['+', '-', '', ''], ['-', '', '', '']]
[['+', '-', '+', '-'], ['-', '-', '-', ''], ['+', '+', '', ''], ['+', '', '', '']]
[['-', '+', '-', '+'], ['-', '-', '-', ''], ['+', '+', '', ''], ['+', '', '', '']]
[['-', '-', '+', '+'], ['+', '-', '+', ''], ['-', '-', '', ''], ['+', '', '', '']]
符号三角形数量: 6