【回溯算法】【Python实现】符号三角形问题

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[@ $toc$ ](#文章目录 @[toc] 问题描述回溯法时间复杂性 Python实现)
[问题描述](#文章目录 @[toc] 问题描述回溯法时间复杂性 Python实现)
[回溯法](#文章目录 @[toc] 问题描述回溯法时间复杂性 Python实现)
[时间复杂性](#文章目录 @[toc] 问题描述回溯法时间复杂性 Python实现)
[`Python`实现](#文章目录 @[toc] 问题描述回溯法时间复杂性 Python实现)

问题描述

下图是由 14 14 14个" + + +"和 14 14 14个" − - −"组成的符号三角形， 2 2 2个同号下面都是" + + +"， 2 2 2个异号下面都是" − - −"

在一般情况下，符号三角形的第一行有 n n n个符号，符号三角形问题要求对于给定的 n n n，计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的" + + +"和" − - −"的个数相同

回溯法

对于符号三角形问题，用 n n n元组 x $1 : n$ x $1 : n$ x $1:n$ 表示符号三角形的第一行的 n n n个符号，由于 x $i$ x $i$ x $i$ 是二值的，所以在用回溯法解符号三角形问题时，可以用一棵完全二叉树来表示其解空间
在符号三角形的第一行的前 i i i个符号 x $1 : i$ x $1 : i$ x $1:i$ 确定后，就确定了一个由 i ( i + 1 ) / 2 i (i + 1) / 2 i(i+1)/2个符号组成的符号三角形，下一步确定 x $i + 1$ x $i + 1$ x $i+1$ 的值后，只要在前面已确定的符号三角形的右边加一条边，就可以扩展为 x $1 : i + 1$ x $1 : i + 1$ x $1:i+1$ 相应的符号三角形
最终由 x $1 : n$ x $1 : n$ x $1:n$ 所确定的符号三角形中包含的" + + +"个数与" − - −"个数同为 n ( n + 1 ) / 4 n (n + 1) / 4 n(n+1)/4，因此在回溯搜索过程中，可用当前符号三角形所包含的" + + +"个数与" − - −"个数均不超过 n ( n + 1 ) / 4 n (n + 1) / 4 n(n+1)/4作为可行性约束，用于剪去不满足约束的子树
当 i = n i = n i=n时，算法搜索至叶节点，得到一个新的" + + +"个数与" − - −"个数相同的符号三角形，当前已找到符号三角形数 s u m sum sum增 1 1 1
当 i < n i < n i<n时，当前扩展结点 Z Z Z是解空间中的内部结点，对当前扩展结点 Z Z Z的每个儿子结点，计算其相应的符号三角形中" + + +"个数与" − - −"个数，并以深度优先的方式递归地对可行子树进行搜索，或剪去不可行子树
对于给定的 n n n，当 n ( n + 1 ) / 2 n (n + 1) / 2 n(n+1)/2为奇数时，显然不存在所包含的" + + +"个数与" − - −"个数相同的符号三角形，此时可以通过简单的判断加以处理

时间复杂性

更新符号三角形矩阵需要 O ( n ) O(n) O(n)时间，在最坏情况下，有 O ( 2 n ) O(2^{n}) O(2n)个结点需要更新符号三角形矩阵
所以解符号三角形问题的回溯算法所需的计算时间为 O ( n 2 n ) O(n 2^{n}) O(n2n)

`Python`实现

python 复制代码

def symbol_triangle(n):
    if (n * (n + 1) // 2) % 2:
        return 0

    half = n * (n + 1) // 4

    count = 0  # 记录符合条件的符号三角形数量

    # 初始化符号三角形矩阵
    path = [[''] * n for _ in range(n)]

    def backtrack(row, col, path, plus_count, minus_count):
        nonlocal count

        # 边界条件: 当列数等于 n 时, 表示已经生成了符号三角形的一种排列
        if col == n:
            if plus_count == minus_count:
                count += 1

                print(path)

            return

        # 尝试当前位置为 +
        path[row][col] = '+'
        plus_count += 1

        # 更新符号三角形矩阵
        cur_col = col
        for i in range(1, cur_col + 1):
            if path[i - 1][cur_col - 1] == path[i - 1][cur_col]:
                path[i][cur_col - 1] = '+'
                plus_count += 1
            else:
                path[i][cur_col - 1] = '-'
                minus_count += 1

            cur_col -= 1

        # 检查是否满足条件, 继续生成下一行的符号
        if plus_count <= half and minus_count <= half:
            backtrack(row, col + 1, path, plus_count, minus_count)

        # 恢复回溯之前状态
        cur_col = col
        for i in range(cur_col + 1):
            if path[i][cur_col] == '+':
                path[i][cur_col] = ''
                plus_count -= 1
            else:
                path[i][cur_col] = ''
                minus_count -= 1

            cur_col -= 1

        # 尝试当前位置为 -
        path[row][col] = '-'
        minus_count += 1

        # 更新符号三角形矩阵
        cur_col = col
        for i in range(1, cur_col + 1):
            if path[i - 1][cur_col - 1] == path[i - 1][cur_col]:
                path[i][cur_col - 1] = '+'
                plus_count += 1
            else:
                path[i][cur_col - 1] = '-'
                minus_count += 1

            cur_col -= 1

        # 检查是否满足条件, 继续生成下一行的符号
        if plus_count <= half and minus_count <= half:
            backtrack(row, col + 1, path, plus_count, minus_count)

    backtrack(0, 0, path, 0, 0)

    return count


n = 4

print('满足条件的符号三角形如下:')

count = symbol_triangle(n)

print(f'符号三角形数量: {count}')

shell 复制代码

满足条件的符号三角形如下:
[['+', '+', '-', '+'], ['+', '-', '-', ''], ['-', '+', '', ''], ['-', '', '', '']]
[['+', '+', '-', '-'], ['+', '-', '+', ''], ['-', '-', '', ''], ['+', '', '', '']]
[['+', '-', '+', '+'], ['-', '-', '+', ''], ['+', '-', '', ''], ['-', '', '', '']]
[['+', '-', '+', '-'], ['-', '-', '-', ''], ['+', '+', '', ''], ['+', '', '', '']]
[['-', '+', '-', '+'], ['-', '-', '-', ''], ['+', '+', '', ''], ['+', '', '', '']]
[['-', '-', '+', '+'], ['+', '-', '+', ''], ['-', '-', '', ''], ['+', '', '', '']]
符号三角形数量: 6