代码随想录学习Day 35

343.整数拆分

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动归五部曲：

1.确定dp数组及其下标含义：dpi表示的就是第i个数拆分可得到的最大乘积；

2.确定递推公式：从1遍历j，然后有两种渠道得到dpi，一个是j * (i - j) 直接相乘，一个是j * dpi - j，相当于是拆分(i - j)。前者相当于只考虑拆分为两个数，后者则相当于拆分为多个数。递推公式为：dpi = max(dpi, max(j * (i - j), j * dpi - j))；

3.dp数组的初始化：dp0 = 0，dp1 = 1，dp2 = 1；这里前两个不重要，只有dp2=1是固定的；

4.确定遍历顺序：因为dpi是由dpi - j决定的，所以要从前向后遍历；

5.举例推导dp数组：当n == 10时，对应的dp数组为0, 1, 1, 2, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36。

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        dp = [1] * (n + 1)  # 创建dp数组
        dp[0], dp[1], dp[2] = 0, 1, 1  # 初始化
        for i in range(3, n + 1):  # 从前向后遍历
            for j in range(1, i + 1):  # 计算拆分后的乘积，从1到i依次计算
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))  # 递推公式，取最大的
        return dp[-1]

96.不同的二叉搜索树

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动归五部曲：

1.确定dp数组以及下标的含义：dpi表示的是1到i为节点组成的二叉搜索树的个数；

2.确定递推公式：dpi += dp以j为头结点左子树节点数量 * dp以j为头结点右子树节点数量。j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。所以递推公式：dpi += dpj - 1 * dpi - j，j-1为j为头结点左子树节点数量，i-j为以j为头结点右子树节点数量；

3.dp数组如何初始化：dp0, dp1, dp2 = 1, 1, 2；

4.确定遍历顺序：首先一定是遍历节点数，从递归公式：dpi += dpj - 1 * dpi - j可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。所以要从前向后遍历；

5.举例推导dp数组：n = 5时，dp = 1, 1, 2, 5, 14, 42。

class Solution:
    def numTrees(self, n: int) -> int:
        if n <= 2:
            return n
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[0], dp[1], dp[2] = 1, 1, 2
        for i in range(3, n + 1):
            for j in range(1, i + 1):
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]
        return dp[-1]