矩阵的对称正定性判决(复习)

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如何判断一个实矩阵是否是对称正定

在线性代数中,一个实对称矩阵是否为正定可以通过以下方法判断:

  1. 对称性: 首先,确认矩阵是否对称,即矩阵的转置是否等于其本身。

  2. 特征值检查: 对称矩阵的特征值都是实数,可以通过计算所有的特征值来检查矩阵的正定性。如果所有特征值都大于零,则矩阵是正定的;如果所有特征值都小于零,则矩阵是负定的;如果特征值有正有负,则矩阵不是正定的。

  3. 主子式检查: 对于一个实对称矩阵,可以通过检查所有的主子式(矩阵的各阶行列式)来判断其正定性。如果所有主子式的值都大于零,则矩阵是正定的。

  4. 正定性定理: Sylvester定理指出,对于一个n阶实对称矩阵A,当且仅当A的所有n阶主子式大于零时,A是正定的。

  5. Cholesky分解: 正定矩阵可以通过Cholesky分解分解为下三角矩阵乘以其转置的形式。因此,如果一个矩阵可以进行Cholesky分解,且分解后的下三角矩阵的对角线上的元素都大于零,则该矩阵是正定的。

以上方法中,特征值检查和主子式检查是最常用的方法之一,尤其是在实际计算中。Cholesky分解则在解线性方程组等问题中更为实用。

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