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过去十年间，基于随机梯度下降（SGD）的深度学习模型在许多领域都取得了极大的成功。与此同时各式各样的 SGD 替代品也如雨后春笋般涌现。在这些众多替代品中，Adam 及其变种最受追捧。无论是 SGD，还是 Adam，亦或是其他优化器，最核心的超参数非 Learning rate 莫属。因此如何调整好 Leanring rate 是炼丹师们从一开始就必学的技能。
从直觉上讲，影响 Learning rate 取值的重要因素是 Batch size。不知你在学习炼丹术时，是否遇到或者思考过入如下问题：
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我的 Batch size 增加一倍，Learning rate 该怎么调整？
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网上有说 Batch size 和 Learning rate 是线性放缩，也有说是平方根放缩，到底该按照哪个调整？
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为什么我按照网上说的经验关系调整之后效果反而变差了？
针对上述问题，腾讯混元联合北京大学基于现有科研基础和实际业务需求，在进行了大量理论分析和实验验证后发布了关于 Batch size 和 Learning rate 放缩关系的调参指南：
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论文：Surge Phenomenon in Optimal Learning Rate and Batch Size Scaling
- 当使用 SGD 风格的优化器时，应当采用 OpenAI 2018 年给出的结论（arxiv.org/pdf/1812.06...
- 但是当使用 Adam 风格的优化器时，需要按照如下放缩规律：
其中 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ϵ \epsilon </math>ϵ 和 B 分别代表 Learning rate 和 Batch size，而 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β n o i s e \beta _{noise} </math>βnoise 与 OpenAI 2020 年 Scaling law 论文arxiv.org/pdf/2001.08... 中的 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β c r i t \beta _{crit} </math>βcrit 对应。从上面结论不难发现，当 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> B ≪ β n o i s e B \ll \beta _{noise} </math>B≪βnoise 时，社区中广为流传的线性放缩和平方根放缩在一定范围内都是正确的，并且分别对应使用> SGD 风格和 Adam 风格优化器的情况。
一、居然要降低学习率？
如果仔细观察 Adam 风格优化器放缩规律的表达式子会发现，当 Batch size 超过 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β n o i s e \beta _{noise} </math>βnoise 后，随着 Batch size 增加最优的 Learning rate 反而是下降的！ 这样的结论似乎有点反常，但是仔细思考之后又觉得是合理的。首先我们回顾一下 Adam 的更新形式，梯度的一阶动量除以二阶动量的平方根：
（更详细的讨论参考原文中的附录 A）。与 SGD 直接采用 G 进行参数更新相比， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> s i g n ( G ) sign(G) </math>sign(G) 将更快的进入饱和区间，例如，假设 G 的均值是正实数，随着 Batch size 增加 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> G e s t G_{est} </math>Gest 估计为正数时，再增加估计的准确度对 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> s i g n ( G ) sign(G) </math>sign(G) 的结果也毫无影响了。因此当 Batch size 超过 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β n o i s e \beta_{noise} </math>βnoise 时，增加的信息不足以抵消 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β n o i s e \beta_{noise} </math>βnoise 带来的噪声影响，从而导致此次的更新不再那么确信，以至于需要降低学习率。
二、观察到的下降区间
为了检验理论的正确性，需要从实验中观察到最优学习率的 "下降区间"。既然从上一节的分析中发现，使用 Adam 优化器时 Batch size 超过 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β n o i s e \beta_{noise} </math>βnoise 就会导致最优学习率下降，那么只要确定出 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β n o i s e \beta_{noise} </math>βnoise 取值，然后在通过网格搜索打点观察就可以了。虽然从形式上 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β n o i s e \beta_{noise} </math>βnoise 计算很困难，但是幸运的是基于 OpenAI 关算于训练时间和样本效率的定量结论中我们可以估算出 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> B c r i t = E m i n S m i n ≈ β n o i s e B_{crit} = \frac{E_{min}}{S_{min}} \approx \beta _{noise} </math>Bcrit=SminEmin≈βnoise 的取值（更详细的讨论参考原文中的附录 G）。
上面展示了 CNN 在 FashionMNIST 上的学习率 "下降区间"。左图为通过 OpenAI 定量公式估算的 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β n o i s e ≈ 0.1 \beta _{noise} \approx 0.1 </math>βnoise≈0.1（左图直线斜率的负数，右图红色竖直虚线），右图中黄色五角星代表不同 Batch size 下的最优 Learning rate 取值，青色实线为我们的理论预估曲线。
以及 Resnet18 在 TinyImagenet，和 DistilGPT2 在 Eli5Category 上也观察到了类似现象。
三、浪涌现象
前面我们从理论和实验上都发现了，在使用 Adam 风格优化器时最优学习率曲线就像一朵 "浪花" 一样随着 Batch size 增加会先升高后下降。同时结合 OpenAI scaling law 的结论，随着训练进行 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β n o i s e \beta _{noise} </math>βnoise 会逐渐变大。我们理论预测并实验证明了随着训练进行 "浪花" 逐渐向着大 Batch size 方向涌动：
四、理论发现
前面讨论过 Adam 风格的优化器在进行参数更新时采用类似 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> s i g n ( G ) sign(G) </math>sign(G) 的形式。虽然此形式看起来很简单，但是由于推导过程涉及到对更新量均值和方差的考量，所以我们在处理的时候做了一个假设和一个近似：
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假设每个样本的参数 i 的梯度服从均值为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> μ i \mu _i </math>μi，方差为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> σ i 2 \sigma _{i}^{2} </math>σi2 的高斯分布
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通过 sigmoid-style 函数对高斯误差函数进行数值近似
当 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> B ≪ Π σ i 2 2 μ i 2 B \ll \frac{\Pi \sigma _{i}^{2}}{2\mu _{i}^{2} } </math>B≪2μi2Πσi2 时，完整的 Scaling law 形式近似为：
其中，H 为海森矩阵。
当 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> B ≫ Π σ i 2 2 μ i 2 B \gg \frac{\Pi \sigma _{i}^{2}}{2\mu _{i}^{2} } </math>B≫2μi2Πσi2 时：
表明，Batch size 无限大时最优学习率趋于一个饱和值。
五、应用
我们在腾讯 Angel 大模型训练框架中集成了上述理论成果，并在腾讯混元大模型训练任务中对理论进行进一步验证，未来将服务于各种大模型训练场景。
感谢阅读，更多详细内容，请参考原文。