傅立叶变换矩阵的频谱响应

傅立叶变换矩阵的频谱响应

线性变换可以用矩阵表示,傅立叶变换是一种线性变换,因此也可以使用矩阵表示。具体可以参考:离散傅立叶变换和线性变换的关系:什么是线性空间?

1、傅立叶矩阵

X [ k ] = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] e − j k 2 π N n (1) X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-j k \frac{2\pi}{N} n} \tag{1} X[k]=n=0∑N−1x[n]e−jkN2πn(1)

x [ n ] = 1 N ∑ n = 0 N − 1 X [ k ] e j k 2 π N n (2) x[n] = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} X[k]e^{j k \frac{2\pi}{N} n} \tag{2} x[n]=N1n=0∑N−1X[k]ejkN2πn(2)

python 复制代码
import numpy as np
def F(N):
    F = []
    for k in range(N):
        row_k =[]
        for n in range(N):
            row_k.append(np.exp(-1j*2*np.pi/N*k*n))
        F.append(row_k)
    return np.array(F)

N = 100
x = np.zeros((N,1))
x[0] = 1
X_dft = F(N)@x
X_fft = np.fft.fft(x.T).T
np.linalg.norm(X_dft-X_fft)
python 复制代码
In [18]: X_dft.T
Out[18]: 
array([[1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
        1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j]])

2、傅立叶变换的频谱响应

一个冲激通过傅立叶变换得到一个常数函数。这个和白噪声的频谱响应是冲激函数是一致的。

因此傅立叶变换的响应是 h ( t ) = 1 h(t)=1 h(t)=1​。

系统函数 H ( w ) = N δ ( w ) H(w) = N\delta(w) H(w)=Nδ(w)

3、平稳随机信号经过线性系统

因此一个平稳随机信号的离散傅立叶变换的均值为 a N aN aN

相关推荐
luofeiju2 小时前
使用LU分解求解线性方程组
线性代数·算法
FF-Studio9 小时前
【硬核数学 · LLM篇】3.1 Transformer之心:自注意力机制的线性代数解构《从零构建机器学习、深度学习到LLM的数学认知》
人工智能·pytorch·深度学习·线性代数·机器学习·数学建模·transformer
szekl16 小时前
HDMI 2.0 4×2矩阵切换器412HN——多信号输入输出的高清解决方案
linux·矩阵·计算机外设·电脑·ekl
盛寒1 天前
矩阵的定义和运算 线性代数
线性代数
盛寒1 天前
初等变换 线性代数
线性代数
叶子爱分享2 天前
浅谈「线性代数的本质」 - 系列合集
线性代数
luofeiju2 天前
RGB下的色彩变换:用线性代数解构色彩世界
图像处理·人工智能·opencv·线性代数
好开心啊没烦恼2 天前
Python:线性代数,向量内积谐音记忆。
开发语言·python·线性代数·数据挖掘·数据分析
引量AI11 天前
TikTok 矩阵如何快速涨粉
大数据·人工智能·矩阵·tiktok矩阵·海外社媒
Ven%12 天前
矩阵阶数(线性代数) vs. 张量维度(深度学习):线性代数与深度学习的基石辨析,再也不会被矩阵阶数给混淆了
人工智能·pytorch·深度学习·线性代数·矩阵·tensor·张量