模拟滤波器和数字滤波器（一）

下面介绍模拟滤波器和数字滤波器的频率响应的异同，以及如何使用python地scipy.signal来绘制其频谱响应和冲激阶跃响应。在第二期将谈到如何设计模拟滤波器和数字滤波器。

在正文之间，应该介绍连续时间傅立叶变换（CTFT）和离散时间傅立叶变换（DTFT）。

CTFT 连续时间信号的傅立叶变换

时域连续，且具有非周期性的函数，可以进行傅里叶变换，求出连续的非周期的频谱。

\ $\\Large \\begin{aligned}X(\\omega) \&= \\int_{-\\infty}\^\\infty x(t)e\^{-j \\omega t}dt \\\\ x(t) \&= \\frac{1}{2\\pi}\\int_{-\\infty}\^\\infty X(\\omega)e\^{j \\omega t}d\\omega \\end{aligned} \\$

DTFT 离散时间信号的傅立叶变换

时域离散，且具有非周期性的函数，可以求出连续的周期的频谱 。周期为$2\pi$

\ $\\Large \\begin{aligned}X(\\omega) \&= \\sum_{-\\infty}\^\\infty x\[n$ e^{-j \omega n} \\ x $n$ &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi X(\omega)e^{j \omega n}d\omega \end{aligned} \]

最大的区别是，连续时间信号的频谱从0到无穷大，离散时间信号的频谱从0到$2\pi$

下面将介绍python当中的模拟和数字滤波器。

1、模拟滤波器

比如一个二阶系统，其传递函数为：

\ $H(s) = \\frac{udnf\^2}{s\^2+2\*udnf\*dr\*s+udnf\^2} = \\frac{0s\^2+0s+1}{s\^2+1s+1} \\$

该传递函数的时域微分形式为：

\ $\\frac{d\^2y(t) }{dt\^2} + 2\\zeta w_n \\frac{dy(t)}{dt} + w_n\^2y(t) = w_n\^2x(t) \\$

python 复制代码

import numpy as np
from scipy.signal import freqs_zpk,freqs,tf2zpk
import matplotlib.pyplot as plt
dr = 1/2          # damping ratio
udnf = 1          # undamped natural frequency
b = [0,0,udnf**2]
a = [1,2*udnf*dr,udnf**2]
z,p,k = tf2zpk(b,a)
w, h = freqs_zpk(z, p, k, worN=np.logspace(-3, 5, 1000))

fig = plt.figure(figsize=(14,7))
ax1 = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax1.set_title('Analog filter frequency response')
ax1.semilogx(w, 20 * np.log10(abs(h)), 'b')
ax1.set_ylabel('Amplitude [dB]', color='b')
ax1.set_xlabel('Frequency [Hz]')
ax1.grid(True)

ax2 = ax1.twinx()
angles = np.unwrap(np.angle(h,deg=True),period=360)
ax2.semilogx(w, angles, 'g')
ax2.set_ylabel('Angle [degree]', color='g')

plt.axis('tight')
plt.show()

python 复制代码

from scipy.signal import impulse，step
print(z,p,k)
t, y = impulse((z,p,k))
t1, y1 = step((z,p,k))
plt.plot(t,y)
plt.plot(t1,y1)
plt.legend(["impulse response","step response"])
plt.show()

上面用到scipy.signal三个函数：

freqs_zpk：基于零极点的模拟频率响应。
1. worN：频率轴范围。
2. np.logspace：生成对数序列

freqs：基于有理传递函数的模拟频率响应。在本例中没有用到。尤其注意b、a对应传递函数是正幂。

复制代码

        b[0]*(jw)**M + b[1]*(jw)**(M-1) + ... + b[M]
H(w) = ----------------------------------------------
        a[0]*(jw)**N + a[1]*(jw)**(N-1) + ... + a[N]

tf2zpk：传递函数转零极点表示。

2、数字滤波器

比如一个二阶系统：

\ $H(z) = \\frac{1}{1-(2r\\cos(\\theta)z\^{-1}+r\^2z\^{-2}} = \\frac{z\^2}{z\^2-(2r\\cos(\\theta)z+r\^2} \\$

其单位脉冲响应为：

\ $h\[n$ = r^n\frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}u $n$ \]

差分方程表示为：

\ $y\[n$ -2r\cos(\theta)y $n-1$ +r^2y $n-2$ = x $n$ \]

python 复制代码

import numpy as np
from scipy.signal import freqz_zpk,freqz,tf2zpk
import matplotlib.pyplot as plt

fs = 2*np.pi

r = 3/4            
theta = 45/180*np.pi          
b = [1,0,0]
a = [1,-2*r*np.cos(theta),r**2]
z,p,k = tf2zpk(b,a)
w, h = freqz_zpk(z, p, k, worN=np.linspace(-2.5*np.pi,2.5*np.pi,1000),fs=fs)

fig = plt.figure(figsize=(14,7))
ax1 = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax1.set_title('Digital filter frequency response')
ax1.plot(w, 20 * np.log10(abs(h)), 'b')
ax1.set_ylabel('Amplitude [dB]', color='b')
ax1.set_xlabel('w(radians)')
ax1.set_xticks([-3*np.pi,-2*np.pi,-1*np.pi,0,1*np.pi,2*np.pi,3*np.pi],
               [r"$-3\pi$",r"$-2\pi$",r"$-\pi$","0",r"$\pi$",r"$2\pi$",r"$3\pi$"])
ax1.grid(True)

ax2 = ax1.twinx()
angles = np.unwrap(np.angle(h,deg=True),period=360)
ax2.plot(w, angles, 'g')
ax2.set_ylabel('Angle [degree]', color='g')

plt.axis('tight')
plt.show()

该仿真波形和奥本海姆的教材上面的波形一致。

python 复制代码

print(z,p,k)
from scipy.signal import dimpulse, dstep
dt = 0.1
t, y = dimpulse((z,p,k,dt), n=50)
t1, y1 = dstep((z,p,k,dt), n=50)
plt.stem(t,np.squeeze(y),'r')
plt.plot(t1,np.squeeze(y1),'bo-')
plt.legend(["impulse response","step response"])
plt.show()

需要注意：

freqs_zpk：没有采样率这个概念，worN的单位就是Hz
freqz_zpk：有采样率这个概念，fs的默认值为$2\pi$，此时横坐标的单位为弧度。

freqz：使用传递函数绘制频谱响应。在scipy.signal的定义里面，此函数为负幂。

复制代码

            jw                 -jw              -jwM
   jw    B(e  )    b[0] + b[1]e    + ... + b[M]e
H(e  ) = ------ = -----------------------------------
            jw                 -jw              -jwN
         A(e  )    a[0] + a[1]e    + ... + a[N]e

弧度和频率换算举例：设置$worN= $-2\\pi,2\\pi$ $，如果fs使用默认值$2\pi Hz$，那么实际横坐标的范围为$ $-2\\pi,2\\pi$ $，即两个周期；如果fs使用$\pi Hz$，那么实际的横坐标范围为$ $-4\\pi,4\\pi$ $。其中$\pi$弧度对应$fs/2$ Hz.

数字滤波器和模拟滤波器（一）

模拟滤波器和数字滤波器（一）

1、模拟滤波器

2、数字滤波器