数字滤波器和模拟滤波器(一)

模拟滤波器和数字滤波器(一)

下面介绍模拟滤波器和数字滤波器的频率响应的异同,以及如何使用python地scipy.signal来绘制其频谱响应和冲激阶跃响应。在第二期将谈到如何设计模拟滤波器和数字滤波器。

在正文之间,应该介绍连续时间傅立叶变换(CTFT)和离散时间傅立叶变换(DTFT)。

  1. CTFT 连续时间信号的傅立叶变换

时域连续,且具有非周期性的函数,可以进行傅里叶变换,求出连续的非周期的频谱

\[\Large \begin{aligned}X(\omega) &= \int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j \omega t}dt \\ x(t) &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty X(\omega)e^{j \omega t}d\omega \end{aligned} \]

  1. DTFT 离散时间信号的傅立叶变换

时域离散,且具有非周期性的函数,可以求出连续的周期的频谱 。周期为\(2\pi\)​

\[\Large \begin{aligned}X(\omega) &= \sum_{-\infty}^\infty x[n]e^{-j \omega n} \\ x[n] &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi X(\omega)e^{j \omega n}d\omega \end{aligned} \]

最大的区别是,连续时间信号的频谱从0到无穷大,离散时间信号的频谱从0到\(2\pi\)

下面将介绍python当中的模拟和数字滤波器。

1、模拟滤波器

比如一个二阶系统,其传递函数为:

\[H(s) = \frac{udnf^2}{s^2+2*udnf*dr*s+udnf^2} = \frac{0s^2+0s+1}{s^2+1s+1} \]

该传递函数的时域微分形式为:

\[\frac{d^2y(t) }{dt^2} + 2\zeta w_n \frac{dy(t)}{dt} + w_n^2y(t) = w_n^2x(t) \]

python 复制代码
import numpy as np
from scipy.signal import freqs_zpk,freqs,tf2zpk
import matplotlib.pyplot as plt
dr = 1/2          # damping ratio
udnf = 1          # undamped natural frequency
b = [0,0,udnf**2]
a = [1,2*udnf*dr,udnf**2]
z,p,k = tf2zpk(b,a)
w, h = freqs_zpk(z, p, k, worN=np.logspace(-3, 5, 1000))

fig = plt.figure(figsize=(14,7))
ax1 = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax1.set_title('Analog filter frequency response')
ax1.semilogx(w, 20 * np.log10(abs(h)), 'b')
ax1.set_ylabel('Amplitude [dB]', color='b')
ax1.set_xlabel('Frequency [Hz]')
ax1.grid(True)

ax2 = ax1.twinx()
angles = np.unwrap(np.angle(h,deg=True),period=360)
ax2.semilogx(w, angles, 'g')
ax2.set_ylabel('Angle [degree]', color='g')

plt.axis('tight')
plt.show()
python 复制代码
from scipy.signal import impulse,step
print(z,p,k)
t, y = impulse((z,p,k))
t1, y1 = step((z,p,k))
plt.plot(t,y)
plt.plot(t1,y1)
plt.legend(["impulse response","step response"])
plt.show()

上面用到scipy.signal三个函数:

  1. freqs_zpk:基于零极点的模拟频率响应。

    1. worN:频率轴范围。
    2. np.logspace:生成对数序列
  2. freqs:基于有理传递函数的模拟频率响应。在本例中没有用到。尤其注意b、a对应传递函数是正幂。

            b[0]*(jw)**M + b[1]*(jw)**(M-1) + ... + b[M]
    H(w) = ----------------------------------------------
            a[0]*(jw)**N + a[1]*(jw)**(N-1) + ... + a[N]
    
  3. tf2zpk:传递函数转零极点表示。

2、数字滤波器

比如一个二阶系统:

\[H(z) = \frac{1}{1-(2r\cos(\theta)z^{-1}+r^2z^{-2}} = \frac{z^2}{z^2-(2r\cos(\theta)z+r^2} \]

其单位脉冲响应为:

\[h[n] = r^n\frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}u[n] \]

差分方程表示为:

\[y[n]-2r\cos(\theta)y[n-1]+r^2y[n-2] = x[n] \]

python 复制代码
import numpy as np
from scipy.signal import freqz_zpk,freqz,tf2zpk
import matplotlib.pyplot as plt

fs = 2*np.pi

r = 3/4            
theta = 45/180*np.pi          
b = [1,0,0]
a = [1,-2*r*np.cos(theta),r**2]
z,p,k = tf2zpk(b,a)
w, h = freqz_zpk(z, p, k, worN=np.linspace(-2.5*np.pi,2.5*np.pi,1000),fs=fs)

fig = plt.figure(figsize=(14,7))
ax1 = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax1.set_title('Digital filter frequency response')
ax1.plot(w, 20 * np.log10(abs(h)), 'b')
ax1.set_ylabel('Amplitude [dB]', color='b')
ax1.set_xlabel('w(radians)')
ax1.set_xticks([-3*np.pi,-2*np.pi,-1*np.pi,0,1*np.pi,2*np.pi,3*np.pi],
               [r"$-3\pi$",r"$-2\pi$",r"$-\pi$","0",r"$\pi$",r"$2\pi$",r"$3\pi$"])
ax1.grid(True)

ax2 = ax1.twinx()
angles = np.unwrap(np.angle(h,deg=True),period=360)
ax2.plot(w, angles, 'g')
ax2.set_ylabel('Angle [degree]', color='g')

plt.axis('tight')
plt.show()

该仿真波形和奥本海姆的教材上面的波形一致。

python 复制代码
print(z,p,k)
from scipy.signal import dimpulse, dstep
dt = 0.1
t, y = dimpulse((z,p,k,dt), n=50)
t1, y1 = dstep((z,p,k,dt), n=50)
plt.stem(t,np.squeeze(y),'r')
plt.plot(t1,np.squeeze(y1),'bo-')
plt.legend(["impulse response","step response"])
plt.show()

需要注意:

  1. freqs_zpk:没有采样率这个概念,worN的单位就是Hz

  2. freqz_zpk:有采样率这个概念,fs的默认值为\(2\pi\)​,此时横坐标的单位为弧度。

  3. freqz:使用传递函数绘制频谱响应。在scipy.signal的定义里面,此函数为负幂。

                jw                 -jw              -jwM
       jw    B(e  )    b[0] + b[1]e    + ... + b[M]e
    H(e  ) = ------ = -----------------------------------
                jw                 -jw              -jwN
             A(e  )    a[0] + a[1]e    + ... + a[N]e
    
  4. 弧度和频率换算举例:设置\(worN=[-2\pi,2\pi]\),如果fs使用默认值\(2\pi Hz\),那么实际横坐标的范围为\([-2\pi,2\pi]\),即两个周期;如果fs使用\(\pi Hz\),那么实际的横坐标范围为\([-4\pi,4\pi]\)。其中\(\pi\)弧度对应\(fs/2\) Hz.

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