【庞加莱几何-02】反演定理和证明

关键词：inversion、reflection

一、说明

这里是庞加莱几何的第二篇文章，是庞加莱基本几何属性的研究。本篇主要说清楚，什么是反演，在反演情况下，圆和直线的变换结果。也预先告诉大家，在艺术作图中，反射比反演更常见。除此，还涉及几个定理的证明。

双曲几何可以通过庞加莱圆盘模型或庞加莱半平面模型来建模。在这两个模型中，圆反演都用作测地线中的反射。

注意，圆的反演和测地线反射的关系：

设圆R内有一点r；那么，r的反演点是s；在圆R内，过r的测地线就是S圆的一段弧。因此

1）圆S和R互相构成反演；

2）S圆分R圆成两部分区域（下图阴影部分），这两部分区域既是R内点关于测地线MN的反射（reflect）；同时，这两部分也是S圆关于两部分区域点的反演（inversion）。

3）两个圆（R和S）是垂直关系；

4）两个圆（R和S）是相互反演的关系；

在欧几里得几何中，直线反射的三角形与原始三角形全等。当沿直线反射时，距离和角度都会被保留。

使用庞加莱圆盘模型或庞加莱半平面模型，当物体反射在测地线中时，距离和角度将被保留。这是通过使用反射的圆反转来实现的。双曲角与欧几里得角相同（通过使用测地线的切线测量）。双曲距离的定义方式是在测地线中反射时保留该距离。两点之间的双曲距离与欧氏距离不同。

通过使用圆的反演作为直线欧几里得反射的双曲版本，我们将能够构造双曲工具，例如中点、垂直线和垂直平分线。我们将从定义圆反演开始，然后展示构建双曲线工具所需的圆反演的所有属性。

如果反转圆c有半径r和中心O，然后A的反演点是A′，那么A′点是一个躺在OA射线上的点。

当A靠近O点时， A′将靠近无穷远，在圆上的点，反演到自己本身。圆内的点必反演到圆外，而圆外的点，必反演到圆内。

可以使用尺子和圆规构建反演点。在 GeoGebra 中，您可以使用工具 Reflect Object in Circle 来创建反演点。

为了显示所需的圆反转的性质，我们需要找到点和反转点之间的关系。

【定理1】让O 是反转圆 c 的中心。让A 和B 是圆内不等于 O 的不同点，和这样的A,B, 和 O 不共线。设A′ 和 B′ 是反演点。则△OAB∼△OB′A′。

证明：忽略。

当一个圆居于单位圆内部时，它就的反演要么为圆、要么是直线。当直线在圆中反转时也是如此，它要么反转为圆，要么反转为直线。

如图：

1）当s圆在单位圆c内部，且s不过c的圆心，那么。s的反演在c的外部的圆。

2）当t圆在单位圆c内部，且t不过c的圆心，那么。t的反演在c的外部的直线。

3）当w圆在单位圆c内外部，且w过c的圆心，那么。w的反演在c的内外部的直线。

4）如果直线经过O点，那么它反演到自身的直线。

为了方便起见，不区分圆和线，而是使用所谓的广义圆，即要么是圆要么是线的几何对象。使用 GeoGebra，您可以在圆和直线上使用"在圆中反射对象"工具。

圆和直线的圆反转的不同情况如下：

【定理2】：圆和线的圆反转的不同情况如下

证明：

我们必须证明这三种情况中每一种情况的定理。

让 l l l是一条线 O O O并让一个和 B B B两点上 l l l.倒线由倒置点定义 A ′ A^′ A′和 B ′ B^′ B′.倒置的点在来自的光线上O自一个和B分别。由于两条射线都亮着l倒置点必须都打开 l l l.因此，反转线与 l l l线共线.

让 l l l是一条不通过 O O O的线.再划一条线 O O O垂直于 l l l并让一个是两条线之间的交点。让 B B B是另一点 l l l.

表明 ∠ O B ′ A ′ ∠OB^′A^′ ∠OB′A′是直角。
使用 1）的结论和练习 2 的结论来证明一条线不通过O通过倒置成一个圆O.
通过逆转这个过程，我们可以证明循环通过O（不包括点O）反转为不通的线O.您不必这样做。

3【案例 3】 ‐ 圆圈不通过O反演成一个圆圈，而不是通过O.
证明定理2的情况3：
将 O 视为反转圆的中心。不穿过 O 的圆反转为另一个也不穿过 O 的圆。用完全位于反转圆内的圆来证明这一点。

取 d 作为反演圆内不经过 O 的圆。设 A 为 d 上距离 O 最近的点，B 为 d 上距离 O 最远的点。设 C 为 d 上与 A 不同的任何其他点， B. 将点 A、B 和 C 的反转分别表示为 A'、B' 和 C'。

由于C的任意性，且∠ACB始终是直角，∠A'C'B'也始终是直角，因此，圆d被映射到圆⚪A'C'B'上。