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牛客热题：矩阵的最小路径和
题目链接
矩阵的最小路径和_牛客题霸_牛客网 (nowcoder.com)
方法一：二维dp
思路
①状态表示：
d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 表示为从起点(0, 0)到(i, j)位置的最小路径和
②初始化：
首先对于第一行第一列来说，他们的路径都只有一条，就是从他们的上方或者左方到达，因此我们可以直接计算出他们的路径和。
③状态转移方程：
对于每一个位置来说，有两个路径来源，我们选取路径和小的就可以。
d p [ i ] [ j ] = m i n ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − 1 ] ) + m a t r i x [ i ] [ j ] dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + matrix[i][j] dp[i][j]=min(dp[i−1][j],dp[i][j−1])+matrix[i][j]
④填表顺序：
我们发现当前位置状态的获取都需要依赖上方和左方位置的状态，因此我们填表顺序为：
从上到下，从左到右。
⑤返回结果：
因为答案要求的是从起点到终点的最小路径和，因此我们要返回的结果就是 d p [ m − 1 ] [ n − 1 ] dp[m - 1][n - 1] dp[m−1][n−1]
代码
cpp
int minPathSum(vector<vector<int> >& matrix)
{
int m = matrix.size();
int n = matrix[0].size();
vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
//初始化
dp[0][0] = matrix[0][0];
for(int i = 1; i < m || i < n; ++i)
{
if(i < m) dp[i][0] = dp[i - 1][0] + matrix[i][0];
if(i < n) dp[0][i] = dp[0][i - 1] + matrix[0][i];
}
for(int i = 1; i < m; ++i)
for(int j = 1; j < n; ++j)
{
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + matrix[i][j];
}
return dp[m - 1][n - 1];
}复杂度
时间复杂度：遍历了一次二维dp数组： O ( m ∗ n ) O(m * n) O(m∗n)
空间复杂度：使用了额外的二维数组： O ( m ∗ n ) O(m * n) O(m∗n)