题目
对随机变量
的随机性的一个度量是它的熵（entropy），熵定义为：
如果
，求这个熵，并说明它与PDF集中度的关系。观察到数据后，后验PDF的熵可以确定为：
且它应该比
小。因此，通过观察得到的信息的度量是：
证明
。在什么条件下，
?
提示：把
表示为：
另外，对于PDF 
,
，需要不等式：
当且仅当
时，等式成立。
解答：
所以：
因此：
所以：
最终得到：
由题目条件，PDF约集中，也即是
越小，此时对应的
也就越小。换句话说，熵大的信号，具有较大的
，或者
越随机。
接下来求条件概率下的信息度量，因为：
所以：
其中利用
所以，当
为概率密度，且也非负时，得到
而上式积分为零的条件得到：
也就表示此时
和
独立，此时
，也就是后验概率和先验概率一致，此时没有提供额外的信息。
另外一个维度，如果
，此时
，也即是
此时一定比
小，换句话说，
估计的
就越集中，也就是MMSE估计量具有更小的方差。