本文涉及知识点
差分数组
令 a[i] = ∑ j : 0 i v D i f f [ i ] \sum_{j:0}^{i}vDiff[i] ∑j:0ivDiff[i]
如果 vDiff[i1]++，则a[i1...]全部++
如果vDiff[i2]--,则a[i2...]全部--。
令11 < i2 ，则：
{ a [ i ] 不变，不受加减影响 i < i 1 a [ i ] 不变，加减抵消 i > = i 2 a [ i ] + + o t h e r \begin{cases} a[i]不变，不受加减影响 && i < i1 \\ a[i]不变，加减抵消 && i >= i2\\ a[i]++ && other \\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a[i]不变，不受加减影响a[i]不变，加减抵消a[i]++i<i1i>=i2other
即：a[i1...i2-1]++ ，其它不变。
区间更新、单点更新时间复杂度：O(1）。
区间查询、单点查询：O(n)
依次查询 时间复杂度O(n)，i从0到n-1查询a[i]的总时间复杂度是O(n)。
可与树状数组结合：更新查询全部是O(logn)
空间复杂度：O(n)
题解
用map实现的差分
封装类
cpp
template<class KEY=int,class VALUE=int>
class CMapDiff
{
public:
void Set(KEY left, KEY rExclue, VALUE value) {
m_mDiff[left]+= value;
m_mDiff[rExclue]-= value;
}
vector<pair<KEY, VALUE>> Ans()const {
vector<pair<KEY, VALUE>> res;
VALUE sum = 0;
for (const auto& [key,value]: m_mDiff) {
sum += value;
res.emplace_back(make_pair(key, sum));
}
return res;
}
protected:
map<KEY, VALUE> m_mDiff;
};大约2024年7月3号发
mDiff[si]++ mDiff[ei+1]-- 表示[si,ei] 一场会议。
∀ \forall ∀mDiff的键 key,其下一个键为nkey。
则 ∀ \forall ∀k ∈ \in ∈ [key,nkey) mDiff[k]都为0，省略。
即：
x = ∑ i : 0 k e y m D i f f [ i ] = ∑ i : 0 k m D i f f [ i ] x = \sum_{i:0}^{key}mDiff[i] \quad = \sum_{i:0}^{k}mDiff[i] x=∑i:0keymDiff[i]=∑i:0kmDiff[i]
如果x不为0，则[key,nkey)全部要开会。
二维差分
a[i][j] = ∑ i 1 : 0 i ∑ j 1 : 0 j v D i f f [ i ] [ j ] \sum_{i1:0}^i \sum_{j1:0}^jvDiff[i][j] ∑i1:0i∑j1:0jvDiff[i][j]
a[i1...i2][j1...j2] ++的操作：
vDiff[i1][j1]++ vDiff[i2+1][j2+1]++
vDiif[i1][j2+1]-- vDiff[2+1][j1]--
注意 ：差分都是左闭右开空间
求前缀和的简单方法：
vCol[j] = ∑ i 1 : 0 i v D i i f [ i 1 ] [ j ] \sum_{i1:0}^{i}vDiif[i1][j] ∑i1:0ivDiif[i1][j]
a[i][j] = ∑ j 1 : 0 j v C o l [ j 1 ] \sum_{j1:0}^j vCol[j1] ∑j1:0jvCol[j1]
封装类
cpp
template<class T = int >
class CDiff2
{
public:
CDiff2(int r, int c):m_iR(r),m_iC(c) {
m_vDiff.assign(m_iR, vector<T>(m_iC));
}
void Set(int r1, int c1, int r2Exinc, int c2Exinc,int iAdd) {
m_vDiff[r1][c1] += iAdd;
m_vDiff[r2Exinc][c2Exinc] += iAdd;
m_vDiff[r1][c2Exinc] -= iAdd;
m_vDiff[r2Exinc][c1] -= iAdd;
}
vector<vector<T>> Ans()const {
vector<vector<T>> res(m_iR, vector<T>(m_iC));
vector<T> vCols(m_iC);
for (int r = 0; r < m_iR; r++) {
T iSum = 0;
for (int c = 0; c < m_iC; c++) {
vCols[c] += m_vDiff[r][c];
iSum += vCols[c];
res[r][c] = iSum;
}
}
return res;
}
const int m_iR, m_iC;
protected:
vector<vector<T>> m_vDiff;
};题解
| 难度分 | |
|---|---|
| 【离散化 二维差分】850. 矩形面积 II | 2335 |
| 【二维差分】2132. 用邮票贴满网格图 | 2364 |
| 【离散化 二维差分】391. 完美矩形 |
扩展阅读
视频课程
先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
