数据结构_二叉树

目录

一、树型结构

二、二叉树

[2.1 概念](#2.1 概念)

[2.2 特殊的二叉树](#2.2 特殊的二叉树)

[2.3 二叉树的性质](#2.3 二叉树的性质)

[2.4 二叉树的存储](#2.4 二叉树的存储)

[2.5 遍历二叉树](#2.5 遍历二叉树)

[2.6 操作二叉树](#2.6 操作二叉树)

总结


一、树型结构

是一种非线性 的数据结构,它是由 n(n>=0) 个有限结点组成一个具有层次关系的集合,一棵 n 个结点的树有 n-1 条边。

  • **结点的度:**一个节点具有的子树个数称为该结点的度。如上图,结点 A 的度为 6。
  • **树的度:**一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度。如上图,树的度为 6。
  • **叶子结点 (终端结点):**度为 0 的结点称为叶子结点。如上图,B、C、H、I、N 等结点为叶子结点。
  • **父结点 (双亲结点):**若一个结点含有子结点,则称该结点为其子结点的父节点。如上图,A 是 B 的父结点。
  • **根结点:**是每棵树的起始结点,即没有父结点的结点。如上图,A 为根结点。
  • **子结点 (孩子结点):**一个结点含有的子树的根结点,称为该结点的子节点。如上图,B 是 A 的子结点。
  • **结点的层次:**从根结点开始,根结点为第 1 层,根结点的子结点为第 2 层,以此类推。如上图,结点 A 为第 1 层,结点 B、C、D 等为第 2 层。
  • **树的高度 (深度):**树中结点的最大层次。如上图,树的高度为 4。
  • **分支结点:**度不为 0 的结点。
  • **兄弟结点:**具有相同父结点的结点互为兄弟。
  • **堂兄弟结点:**父结点在同一层的结点互为堂兄弟。
  • **结点的祖先:**从根结点到该结点分支上的所有结点。如上图,A 是所有结点的祖先。
  • **子孙:**以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图,所有结点都是 A 的子孙。
  • **森林:**由 m(m>=0) 棵互不相交的树组成的集合称为森林。

二、二叉树

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合,二叉树有两种情况:

① 空树

由一个根结点 加上两棵分别称为左子树右子树的二叉树组成。

【特点】

1、二叉树不存在度大于 2 的结点;

2、二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树。


2.2 特殊的二叉树

1、满二叉树: 若一棵二叉树每层的结点数都达到最大值,则这棵树就是满二叉树。即若一棵二叉树的高度为 k,且结点总数是 ,则它就是满二叉树。

2、**完全二叉树:**满二叉树是一种特殊的完全二叉树。对于高度为 K,有 n 个结点的二叉树,当且仅当其每个结点都与高度为 k 的满二叉树中编号从 0 至 n-1 的结点一一对应时称为完全二叉树。


2.3 二叉树的性质

  • 一棵非空二叉树的**第 k 层上最多有 **个结点;
  • 高度为 k 的二叉树最大结点数
  • 叶子结点 个数为 度为 2 的结点 个数为 ,则有
  • 有 n 个结点的完全二叉树 高度为 ("[]"为取整)
  • 一棵有 n 个结点的完全二叉树,对于其编号为 i 的结点有:
  • 若 i > 0,父结点编号:[(i-1) / 2];若 i = 0,则 i 为根结点编号,无父结点。
  • 若 2i+1 < n,左孩子编号:2i+1;反之无左孩子。
  • 若 2i+2 < n,右孩子编号:2i+2;反之无右孩子。

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储结构 分为:顺序存储和链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个结点引用构造出的,例如,孩子表示法和孩子双亲表示法:

java 复制代码
    //孩子表示法
    class Node {
        int val; //数据域
        Node left; //左孩子
        Node right; //右孩子
    }

    //孩子双亲表示法
    class Node {
        int val; //数据域
        Node left; //左孩子
        Node right; //右孩子
        Node parent; //当前节点的父亲节点
    }

2.5 遍历二叉树

【前中后序遍历】

前序(NLR): 根结点 → 左子树 → 右子树;(根左右)

中序(LNR): 左子树 → 根结点 → 右子树;(左根右)

后序(LRN): 左子树 → 右子树 → 根结点;(左右根)

前序:ABDEGCF

中序:DBGEAFC

后序:DGEBFCA

java 复制代码
public class BinaryTree {

    //孩子表示法
    static class TreeNode {
        public String val; //数据域
        public TreeNode left; //左孩子
        public TreeNode right; //右孩子

        public TreeNode(String val) {
            this.val = val;
        }
    }

    //构建树,返回根结点
    public TreeNode createTree() {
        TreeNode A = new TreeNode("A");
        TreeNode B = new TreeNode("B");
        TreeNode C = new TreeNode("C");
        TreeNode D = new TreeNode("D");
        TreeNode E = new TreeNode("E");
        TreeNode F = new TreeNode("F");
        TreeNode G = new TreeNode("G");

        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        E.left = G;
        C.left = F;

        return A;
    }

    //前序遍历
    public void preOrder(TreeNode root) {
        //若为空树,返回
        if (root == null) {
            return;
        }
        System.out.print(root.val + " "); //根
        preOrder(root.left); //左
        preOrder(root.right); //右
    }

    //中序遍历
    public void inOrder(TreeNode root) {
        //若为空树,返回
        if (root == null) {
            return;
        }
        inOrder(root.left);//左
        System.out.print(root.val + " ");//根
        inOrder(root.right);//右
    }

    //后序遍历
    public void postOrder(TreeNode root) {
        //若为空树,返回
        if (root == null) {
            return;
        }
        postOrder(root.left);//左
        postOrder(root.right);//右
        System.out.print(root.val + " ");//根
    }
}

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        //创建二叉树对象
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        //构建二叉树
        BinaryTree.TreeNode root = binaryTree.createTree();

        binaryTree.preOrder(root);//前序:A B D E G C F 
        System.out.println();
        binaryTree.inOrder(root);//中序:D B G E A F C
        System.out.println();
        binaryTree.postOrder(root);//后序:D G E B F C A 
    }
}

【层序遍历】

层序遍历:即自上而下、从左至右逐层访问树的结点的遍历过程。


2.6 操作二叉树

采用子问题思路来实现二叉树的操作。

1、获取树中结点个数

java 复制代码
    //获取树中结点的个数
    public int size(TreeNode root) {
        //若为空树,返回
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        //返回根结点的左子树 + 根结点的右子树 + 根结点本身
        return size(root.left) + size(root.right) + 1;
    }

2、获取树中叶子结点个数

java 复制代码
    //获取叶子结点的个数
    public int getLeafNodeCount(TreeNode root) {
        //若为空树,返回
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        //若无左子树与右子树,便是叶子结点
        if (root.left == null && root.right == null) {
            //是叶子结点,返回 1
            return 1;
        }
        //返回根结点的左子树、右子树中的叶子结点
        return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);
    }

3、获取第 K 层结点个数

java 复制代码
    //获取第 K 层结点的个数
    public int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {
        //若为空树,返回
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        //第 K 层是第 1 层根结点的第 K-1 层,
        //也是第 2 层结点的第 K-2 层。
        //即第 K 层结点的第 1 层,
        if (k == 1) {
            return 1;
        }
        //返回根结点的左子树、右子树的第 K 层结点
        return getKLevelNodeCount(root.left, k-1) + getKLevelNodeCount(root.right, k-1);
    }

4、获取二叉树的高度

java 复制代码
    //获取二叉树的高度
    public int getHeight(TreeNode root) {
        //若为空树,返回
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        //左子树高度
        int leftHeight = getHeight(root.left);
        //右子树高度
        int rightHeight = getHeight(root.right);

        //根结点的左子树与右子树对比,
        //谁高返回谁 + 根结点本身,即左(右)子树高度 + 1。
        return leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1 : rightHeight+1;
    }

5、检测值为 val 的元素是否存在

java 复制代码
    //检测值为 val 的元素是否存在
    public TreeNode find(TreeNode root, String val) {
        //若为空树,返回
        if (root == null) {
            return null;
        }
        //判断根结点元素
        if (root.val == val) {
            return root;
        }
        //判断根结点的左子树
        TreeNode left = find(root.left, val);
        if (left != null) {
            return left;
        }
        //判断根结点的右子树
        TreeNode right = find(root.right, val);
        if (right != null) {
            return right;
        }

        return null;
    }

总结

1、一棵 n 个结点的树有 n-1 条边。

2、二叉树不存在度大于 2 的结点。

3、二叉树的存储结构分为:顺序存储和链式存储。

4、前序(根左右);中序(左根右);后序(左右根)。

5、层序遍历:自上而下、从左至右逐层访问树的结点的遍历过程。

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