目录
[2.1 概念](#2.1 概念)
[2.2 特殊的二叉树](#2.2 特殊的二叉树)
[2.3 二叉树的性质](#2.3 二叉树的性质)
[2.4 二叉树的存储](#2.4 二叉树的存储)
[2.5 遍历二叉树](#2.5 遍历二叉树)
[2.6 操作二叉树](#2.6 操作二叉树)
一、树型结构
树 是一种非线性 的数据结构,它是由 n(n>=0) 个有限结点组成一个具有层次关系的集合,一棵 n 个结点的树有 n-1 条边。
- **结点的度:**一个节点具有的子树个数称为该结点的度。如上图,结点 A 的度为 6。
- **树的度:**一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度。如上图,树的度为 6。
- **叶子结点 (终端结点):**度为 0 的结点称为叶子结点。如上图,B、C、H、I、N 等结点为叶子结点。
- **父结点 (双亲结点):**若一个结点含有子结点,则称该结点为其子结点的父节点。如上图,A 是 B 的父结点。
- **根结点:**是每棵树的起始结点,即没有父结点的结点。如上图,A 为根结点。
- **子结点 (孩子结点):**一个结点含有的子树的根结点,称为该结点的子节点。如上图,B 是 A 的子结点。
- **结点的层次:**从根结点开始,根结点为第 1 层,根结点的子结点为第 2 层,以此类推。如上图,结点 A 为第 1 层,结点 B、C、D 等为第 2 层。
- **树的高度 (深度):**树中结点的最大层次。如上图,树的高度为 4。
- **分支结点:**度不为 0 的结点。
- **兄弟结点:**具有相同父结点的结点互为兄弟。
- **堂兄弟结点:**父结点在同一层的结点互为堂兄弟。
- **结点的祖先:**从根结点到该结点分支上的所有结点。如上图,A 是所有结点的祖先。
- **子孙:**以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图,所有结点都是 A 的子孙。
- **森林:**由 m(m>=0) 棵互不相交的树组成的集合称为森林。
二、二叉树
2.1 概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合,二叉树有两种情况:
① 空树;
② 由一个根结点 加上两棵分别称为左子树 和右子树的二叉树组成。
【特点】
1、二叉树不存在度大于 2 的结点;
2、二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树。
2.2 特殊的二叉树
1、满二叉树: 若一棵二叉树每层的结点数都达到最大值,则这棵树就是满二叉树。即若一棵二叉树的高度为 k,且结点总数是 ,则它就是满二叉树。
2、**完全二叉树:**满二叉树是一种特殊的完全二叉树。对于高度为 K,有 n 个结点的二叉树,当且仅当其每个结点都与高度为 k 的满二叉树中编号从 0 至 n-1 的结点一一对应时称为完全二叉树。
2.3 二叉树的性质
- 一棵非空二叉树的**第 k 层上最多有 **个结点;
- 高度为 k 的二叉树最大结点数 为 ;
- 叶子结点 个数为 ,度为 2 的结点 个数为 ,则有 ;
- 有 n 个结点的完全二叉树 高度为 ;("[]"为取整)
- 一棵有 n 个结点的完全二叉树,对于其编号为 i 的结点有:
- 若 i > 0,父结点编号:[(i-1) / 2];若 i = 0,则 i 为根结点编号,无父结点。
- 若 2i+1 < n,左孩子编号:2i+1;反之无左孩子。
- 若 2i+2 < n,右孩子编号:2i+2;反之无右孩子。
2.4 二叉树的存储
二叉树的存储结构 分为:顺序存储和链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个结点引用构造出的,例如,孩子表示法和孩子双亲表示法:
java
//孩子表示法
class Node {
int val; //数据域
Node left; //左孩子
Node right; //右孩子
}
//孩子双亲表示法
class Node {
int val; //数据域
Node left; //左孩子
Node right; //右孩子
Node parent; //当前节点的父亲节点
}
2.5 遍历二叉树
【前中后序遍历】
前序(NLR): 根结点 → 左子树 → 右子树;(根左右)
中序(LNR): 左子树 → 根结点 → 右子树;(左根右)
后序(LRN): 左子树 → 右子树 → 根结点;(左右根)
前序:ABDEGCF
中序:DBGEAFC
后序:DGEBFCA
java
public class BinaryTree {
//孩子表示法
static class TreeNode {
public String val; //数据域
public TreeNode left; //左孩子
public TreeNode right; //右孩子
public TreeNode(String val) {
this.val = val;
}
}
//构建树,返回根结点
public TreeNode createTree() {
TreeNode A = new TreeNode("A");
TreeNode B = new TreeNode("B");
TreeNode C = new TreeNode("C");
TreeNode D = new TreeNode("D");
TreeNode E = new TreeNode("E");
TreeNode F = new TreeNode("F");
TreeNode G = new TreeNode("G");
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
E.left = G;
C.left = F;
return A;
}
//前序遍历
public void preOrder(TreeNode root) {
//若为空树,返回
if (root == null) {
return;
}
System.out.print(root.val + " "); //根
preOrder(root.left); //左
preOrder(root.right); //右
}
//中序遍历
public void inOrder(TreeNode root) {
//若为空树,返回
if (root == null) {
return;
}
inOrder(root.left);//左
System.out.print(root.val + " ");//根
inOrder(root.right);//右
}
//后序遍历
public void postOrder(TreeNode root) {
//若为空树,返回
if (root == null) {
return;
}
postOrder(root.left);//左
postOrder(root.right);//右
System.out.print(root.val + " ");//根
}
}
public class Main {
public static void main(String[] args) {
//创建二叉树对象
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
//构建二叉树
BinaryTree.TreeNode root = binaryTree.createTree();
binaryTree.preOrder(root);//前序:A B D E G C F
System.out.println();
binaryTree.inOrder(root);//中序:D B G E A F C
System.out.println();
binaryTree.postOrder(root);//后序:D G E B F C A
}
}
【层序遍历】
层序遍历:即自上而下、从左至右逐层访问树的结点的遍历过程。
2.6 操作二叉树
采用子问题思路来实现二叉树的操作。
1、获取树中结点个数
java
//获取树中结点的个数
public int size(TreeNode root) {
//若为空树,返回
if (root == null) {
return 0;
}
//返回根结点的左子树 + 根结点的右子树 + 根结点本身
return size(root.left) + size(root.right) + 1;
}
2、获取树中叶子结点个数
java
//获取叶子结点的个数
public int getLeafNodeCount(TreeNode root) {
//若为空树,返回
if (root == null) {
return 0;
}
//若无左子树与右子树,便是叶子结点
if (root.left == null && root.right == null) {
//是叶子结点,返回 1
return 1;
}
//返回根结点的左子树、右子树中的叶子结点
return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);
}
3、获取第 K 层结点个数
java
//获取第 K 层结点的个数
public int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {
//若为空树,返回
if (root == null) {
return 0;
}
//第 K 层是第 1 层根结点的第 K-1 层,
//也是第 2 层结点的第 K-2 层。
//即第 K 层结点的第 1 层,
if (k == 1) {
return 1;
}
//返回根结点的左子树、右子树的第 K 层结点
return getKLevelNodeCount(root.left, k-1) + getKLevelNodeCount(root.right, k-1);
}
4、获取二叉树的高度
java
//获取二叉树的高度
public int getHeight(TreeNode root) {
//若为空树,返回
if (root == null) {
return 0;
}
//左子树高度
int leftHeight = getHeight(root.left);
//右子树高度
int rightHeight = getHeight(root.right);
//根结点的左子树与右子树对比,
//谁高返回谁 + 根结点本身,即左(右)子树高度 + 1。
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1 : rightHeight+1;
}
5、检测值为 val 的元素是否存在
java
//检测值为 val 的元素是否存在
public TreeNode find(TreeNode root, String val) {
//若为空树,返回
if (root == null) {
return null;
}
//判断根结点元素
if (root.val == val) {
return root;
}
//判断根结点的左子树
TreeNode left = find(root.left, val);
if (left != null) {
return left;
}
//判断根结点的右子树
TreeNode right = find(root.right, val);
if (right != null) {
return right;
}
return null;
}
总结
1、一棵 n 个结点的树有 n-1 条边。
2、二叉树不存在度大于 2 的结点。
3、二叉树的存储结构分为:顺序存储和链式存储。
4、前序(根左右);中序(左根右);后序(左右根)。
5、层序遍历:自上而下、从左至右逐层访问树的结点的遍历过程。