常微分方程算法之编程示例一（欧拉法）

一、研究问题

前面几节内容介绍了常微分方程有限差分格式的推导。为加强对本专栏知识的理解，从本节开始，我们补充一些具体算例及相应的编程。

欧拉法的原理及推导请参考：

常微分方程算法之欧拉法（Euler）_欧拉公式求解微分方程-CSDN博客https://blog.csdn.net/L_peanut/article/details/137268437?spm=1001.2014.3001.5501 研究问题为

取步长为0.1。

二、C++代码

cpp 复制代码

#include <cmath>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

int main(int argc, char *argv[])
{
        int i,N;
        double a,b,h,y0,err,maxerr;
        double *x,*y;
        double f(double x, double y);
        double exact(double x);

        a=0.0;  //求解区域的左端点
        b=1.0;  //求解区域的右端点
        N=10;  //总的剖分数
        h=(b-a)/N;  //步长

        //动态分配长度为(N+1)的数组，存放节点坐标
        x=(double *)malloc(sizeof(double)*(N+1));
        for(i=0;i<=N;i++)
                x[i]=a+i*h;

        //动态分配长度为(N+1)的数组，存放对应节点的数值解
        y=(double*)malloc(sizeof(double)*(N+1));
        y0=1.0;  //初值
        y[0]=y0;  //初值

        maxerr=0.0;
        for(i=0;i<N;i++)
        {
                y[i+1]=y[i]+h*f(x[i],y[i]);  //欧拉法
                err=fabs(y[i+1]-exact(x[i+1]));  //计算各节点处误差
                printf("x[%d]=%.4f, y[%d]=%f, exact=%f, err=%f.\n",i+1,x[i+1],i+1,y[i+1],exact(x[i+1]),err);
                if(err>maxerr)
                        maxerr=err;
        }
        printf("The max error is %f.\n",maxerr);   //打印最大误差

        return 0;
}


//右端项函数
double f(double x, double y)
{
        return y-2*x/y;
}
//精确解
double exact(double x)
{
        return sqrt(1.0+2*x);
}

三、计算结果

bash 复制代码

x[1]=0.1000, y[1]=1.100000, exact=1.095445, err=0.004555.
x[2]=0.2000, y[2]=1.191818, exact=1.183216, err=0.008602.
x[3]=0.3000, y[3]=1.277438, exact=1.264911, err=0.012527.
x[4]=0.4000, y[4]=1.358213, exact=1.341641, err=0.016572.
x[5]=0.5000, y[5]=1.435133, exact=1.414214, err=0.020919.
x[6]=0.6000, y[6]=1.508966, exact=1.483240, err=0.025727.
x[7]=0.7000, y[7]=1.580338, exact=1.549193, err=0.031145.
x[8]=0.8000, y[8]=1.649783, exact=1.612452, err=0.037332.
x[9]=0.9000, y[9]=1.717779, exact=1.673320, err=0.044459.
x[10]=1.0000, y[10]=1.784771, exact=1.732051, err=0.052720.
The max error is 0.052720.

从计算结果中可看出，欧拉法的计算误差还是比较大的。