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C++0-1背包
一、题目要求
1、编程实现
有 N 件物品和一个容量为 M的背包，每件物品有各自的价值且只能被选择一次，要求在有限的背包容量下，装入的物品总价值最大。
2、输入输出
**输入描述：**第一行输入两个整数，分别表示N和M，中间空格隔开
第二行输入N个整数，表示每件物品需要的空间（vi）
第三行输入N个整数，表示每件物品的价值（wi）
**输出描述：**只有一行，一个整数，即最大的价值总和
输入样例：
4 20
8 9 5 2
5 6 7 3
输出样例：
16
二、算法分析
- 从给定题目的初步分析可以看出，本题是比较典型的背包问题
- 所以可以采用动态规划的方式实现
- 由于要求的是最大价值总和，所以可以设置动态数组dp[i][j]，i表示第i个物品，j表示放入物品的容量，dp[i][j]表示的是放入前i个物品，且容量不超过j的最大价值
- 而每件物品可以选择放或者不放，如果不放，也就是前i-1件物品放入容量为j的背包，对应的dp[i][j] = dp[i-1][j]
- 如果放入i件物品，也就是前i-1件物品，也就是前i-1件物品放入容量为j-vi的背包的价值总和，加上当前第i件物品对应的价值wi，dp[i][j] = dp[i-1][j-v[i]] + w[i]
- 所以可以得出对应的动态数组dp[i]的状态转移方为：dp[i]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]] + w[i])
- 物品放入背包是逐个放置，所以遍历顺序从前往后
三、程序编写
解法一：
cpp
//程序中的dp和cost数组可以使用动态数组vector进行实现更好
//N为物品数量，m为最大容量，dp存放的是前i件物品容量为j所能获得的最大价值
//v数组存放的是每件物品所需空间，w数组为每件物品对应的价值
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 101;
const int M = 100000;
int dp[N][M],v[N],w[N];
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin >> v[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
cin >> w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=m;j++)
{
if(j>v[i]) dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
else dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
cout << dp[n][m];
}解法二：（优化）
cpp
//0-1背包
//N为物品数量，m为最大容量，dp存放的是前i件物品容量为v所能获得的最大价值
//v数组存放的是每件物品所需空间，w数组为每件物品对应的价值
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 101;
const int V = 100010;
int dp[V],v[N],w[N];
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin >> v[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
cin >> w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=m;j>=v[i];j--)
{
dp[j] = max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
}
cout << dp[m];
}本文作者：小兔子编程 作者首页：小兔子编程-CSDN博客****
四、运行结果
cpp
8
2 3 2 3 2 3 1 2
7五、考点分析
难度级别：中等，这题相对而言在于背包容量和最大值，具体主要考查如下：
- 分析题目，找到解题思路
- 充分掌握变量和数组的定义和使用
- 学会动态规划算法的原理和使用
- 确定动态数组的定义和含义
- 分析出动态规划算法的状态转移方程以及遍历顺序
- 学会输入流对象cin的使用，从键盘读入相应的数据
- 学会for循环的使用，在确定循环次数的时候推荐使用学会
- 掌握输出流对象cout的使用，与流插入运算符 << 结合使用将对象输出到终端显示
- 学会分析题目，算法分析，将复杂问题模块化，简单化，从中找到相应的解题思路
- 充分掌握变量定义和使用、分支语句、循环语句和动态规划算法的应用
PS：方式方法有多种，小朋友们只要能够达到题目要求即可！