题目
如果是一个2x1的随机矢量,具有PDF
证明的PDF是一个随机变量。提可以因式分解成,其中是一个在4.5节描述的白化变换。
解答
首先:
因此,存在:
也就是是Hermitian矩阵。详细的性质可以参考:
https://zlearning.netlify.app/math/matrix/hermitian
对于Hermitian矩阵有:
实际情况下,都是大于0的实数,此时也叫正定Hermitian矩阵。
因此如果定义:
另外还存在:
那么存在:
其中:
如果令:,那么**:**
此时:
其中:
此时,存在:
因此,可以得到:
上述也可以理解为二次型经过旋转拉伸后变换到标准单位圆的过程。
具体参考
https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/84784311
因为是一个2x1的随机矢量,因此也是一个2x1的随机矢量。
相应存在:
且想好独立。
那么:
根据卡方分布的定义:
卡方分布可以参考:
https://blog.csdn.net/anshuai_aw1/article/details/82735201
上述过程也可以推广到nx1的随机矢量,此时,=