题目
如果是一个2x1的随机矢量,具有PDF
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/6b028a6d084041d68cb3be9d4188677f.png)
证明的PDF是一个
随机变量。提
可以因式分解成
,其中
是一个在4.5节描述的白化变换。
解答
首先:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/c3e0b47f81c84b34a0cafbaafd9b67be.png)
因此,存在:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/4c2d126e204f40ceb823576cf3bbc097.png)
也就是是Hermitian矩阵。详细的性质可以参考:
https://zlearning.netlify.app/math/matrix/hermitian
对于Hermitian矩阵有:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/e7ccbac8533146b7bfad47911aa0be7b.png)
实际情况下,都是大于0的实数,此时
也叫正定Hermitian矩阵。
因此如果定义:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/d012e8a225c44a048ae23599d38a14d6.png)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/504e1907d1da45bdbd138549195f5d12.png)
另外还存在:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/f93a94f972df46d9b1ba5dbecc51c698.png)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/0c6a71fcc8c3453286ba6c69da679efe.png)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/33b01a8e55d34669823cf88abe2f6913.png)
那么存在:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/f6bb36c39e824bbe82132389339344fe.png)
其中:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/46b0ba1b225140d4bde58c9ce0f11398.png)
如果令:,那么**:**
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/07525767315a4fe4b5c7d17a6b37f568.png)
此时:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/42dc6d141e1e4507979ee9eedff2689e.png)
其中:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/f14e5a3518b54668809b2ce763104c29.png)
此时,存在:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/384a353e7a4246609a81d1e37b3162d3.png)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/2c8a9457bda8469eab30ccdf29a63370.png)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/cec4e0e74f4d45988296c3c3b6b8ce6c.png)
因此,可以得到:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/2679b9f4aa3346c58958359ccc545796.png)
上述也可以理解为二次型经过旋转拉伸后变换到标准单位圆的过程。
具体参考
https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/84784311
因为是一个2x1的随机矢量,因此
也是一个2x1的随机矢量。
相应存在:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/c08990fbd5494864bd5990c47add9265.png)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/afc4cebead5c4d02b2ad2085641daa8e.png)
且想好独立。
那么:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/02ee75dd050b41ff86e8d852a5ef92c2.png)
根据卡方分布的定义:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/6bc2786a23d84ed8b9cd562e550d006a.png)
卡方分布可以参考:
https://blog.csdn.net/anshuai_aw1/article/details/82735201
上述过程也可以推广到nx1的随机矢量,此时,=