题目
如果
是一个2x1的随机矢量，具有PDF
证明
的PDF是一个
随机变量。提
可以因式分解成
，其中
是一个在4.5节描述的白化变换。
解答
首先：
因此，存在：
也就是
是Hermitian矩阵。详细的性质可以参考：
https://zlearning.netlify.app/math/matrix/hermitian
对于Hermitian矩阵有：
实际情况下，
都是大于0的实数，此时
也叫正定Hermitian矩阵。
因此如果定义：
另外还存在：
那么存在：
其中：
如果令：
，那么**：**
此时：
其中：
此时，存在：
因此，可以得到：
上述也可以理解为二次型经过旋转拉伸后变换到标准单位圆的过程。
具体参考
https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/84784311
因为
是一个2x1的随机矢量，因此
也是一个2x1的随机矢量。
相应存在：
且想好独立。
那么：
根据卡方分布的定义：
卡方分布可以参考：
https://blog.csdn.net/anshuai_aw1/article/details/82735201
上述过程也可以推广到nx1的随机矢量，此时，
= 