1. 什么是刚体变换?
刚体变换由旋转和平移两部分组成:
- 旋转:对象在三维空间中的旋转,由一个 3x3 旋转矩阵表示。
- 平移:对象在三维空间中的平移,由一个 3x1 平移向量表示。
刚体变换可以用一个 4x4 的齐次变换矩阵表示,这个矩阵的形式如下:
其中:
- R 是一个 3x3 的旋转矩阵。
- t是一个 3x1 的平移向量。
2. Eigen::Isometry3d
的特性
Eigen::Isometry3d
实质上是一个表示刚体变换的 4x4 齐次矩阵。以下是 Eigen::Isometry3d
的一些关键特性:
- 类型 :
Eigen::Isometry3d
是Eigen::Transform<double, 3,Eigen::Isometry>
的类型别名,它表示一个在三维空间中的刚体变换,使用双精度(double
)的数值。 - 操作:它支持常见的几何操作,如旋转、平移、变换点和向量等。
- 高效性 :在执行旋转和平移的组合时,
Isometry3d
比通用的 4x4 矩阵更高效,因为它只表示刚体变换,不涉及缩放和剪切变换。
3. 如何使用 Eigen::Isometry3d
下面是一些常见的 Eigen::Isometry3d
的用法示例:
初始化和设置变换
你可以通过组合旋转和平移来构造一个 Isometry3d
对象:
cpp
#include <Eigen/Dense>
#include <Eigen/Geometry>
#include <iostream>
int main() {
// 初始化一个单位变换(即没有变换)
Eigen::Isometry3d transform = Eigen::Isometry3d::Identity();
// 设置一个旋转(45度绕Z轴旋转)
transform.rotate(Eigen::AngleAxisd(M_PI / 4, Eigen::Vector3d::UnitZ()));
// 设置一个平移(沿X, Y, Z方向平移1, 2, 3单位)
transform.pretranslate(Eigen::Vector3d(1, 2, 3));
std::cout << "Transformation matrix:\n" << transform.matrix() << std::endl;
return 0;
}
在这个示例中,我们创建了一个单位变换(即没有任何旋转和平移),然后设置了一个 45 度的旋转和平移。
应用变换到点或向量
你可以使用 Isometry3d
对象来变换三维空间中的点或向量:
cpp
#include <Eigen/Dense>
#include <Eigen/Geometry>
#include <iostream>
int main() {
Eigen::Isometry3d transform = Eigen::Isometry3d::Identity();
transform.rotate(Eigen::AngleAxisd(M_PI / 4, Eigen::Vector3d::UnitZ()));
transform.pretranslate(Eigen::Vector3d(1, 2, 3));
// 定义一个点
Eigen::Vector3d point(1, 0, 0);
// 变换点
Eigen::Vector3d transformed_point = transform * point;
std::cout << "Original point: " << point.transpose() << std::endl;
std::cout << "Transformed point: " << transformed_point.transpose() << std::endl;
return 0;
}
在这个示例中,我们将一个点 (1, 0, 0) 应用上面的刚体变换,得到了变换后的点。
提取旋转和平移部分
你可以从 Isometry3d
中提取旋转矩阵和平移向量:
cpp
#include <Eigen/Dense>
#include <Eigen/Geometry>
#include <iostream>
int main() {
Eigen::Isometry3d transform = Eigen::Isometry3d::Identity();
transform.rotate(Eigen::AngleAxisd(M_PI / 4, Eigen::Vector3d::UnitZ()));
transform.pretranslate(Eigen::Vector3d(1, 2, 3));
// 提取旋转矩阵
Eigen::Matrix3d rotation_matrix = transform.rotation();
// 提取平移向量
Eigen::Vector3d translation_vector = transform.translation();
std::cout << "Rotation matrix:\n" << rotation_matrix << std::endl;
std::cout << "Translation vector:\n" << translation_vector.transpose() << std::endl;
return 0;
}
4. 总结
Eigen::Isometry3d
是 Eigen
库中的一个非常有用的类,用于处理三维空间中的刚体变换。它封装了旋转和平移的组合操作,可以方便地应用于三维点或向量的变换。通过提取 Isometry3d
中的旋转矩阵和平移向量,可以轻松地进行各种几何计算和操作。