题目
考虑矢量MAP估计量
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/dddd29736f79444f84d490d4b9fabe2a.png)
证明这个估计量对于代价函数
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/e78f58890a044ac6aa9e857101570c13.png)
使贝叶斯风险最小。其中:,
, 且
.
解答
贝叶斯风险函数:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/1199160ea7c54df3ab8780eff95f9f3a.png)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/da4f6e9a75294ba4859214d1d5a62c25.png)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/799d8dbe15f14c06924b968685f5efa7.png)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/7752a56e302c4463a30df1b80cdb9e3f.png)
基于概率密度的非负特性,上述对
积分要求最小,那就需要内层积分达到最小。令内层积分为:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/2c268e4eb398400b84b636a509cc850d.png)
上述积分的区域为:,根据概率密度函数积分的形式,上式也等于:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/8cba38a2e4e943c4b5e0cdd0efb1748b.png)
此时,上式函数的积分区域转化为:
当时,仍然要保证
最小,那么就需要在
区域上,确保积分
最大,那么只有寻找到
函数的最大值,并令最大值就是
才能满足要求,即:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/0109b41a2af24ae5948f933d001d064b.png)
考虑矢量MAP估计量
证明这个估计量对于代价函数
使贝叶斯风险最小。其中:,
, 且
.
贝叶斯风险函数:
基于概率密度的非负特性,上述对
积分要求最小,那就需要内层积分达到最小。令内层积分为:
上述积分的区域为:,根据概率密度函数积分的形式,上式也等于:
此时,上式函数的积分区域转化为:
当时,仍然要保证
最小,那么就需要在
区域上,确保积分
最大,那么只有寻找到
函数的最大值,并令最大值就是
才能满足要求,即: