647. 回文子串

给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。

本题可采用动态规划法解决，需要注意dp数组的定义以及遍历顺序 ：

（1）dp数组
布尔类型 的dpij：表示区间范围i,j （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dpij为true，否则为false。（判断一个子字符串（字符串的下表范围i,j）是否回文，依赖于子字符串（下表范围i + 1, j - 1）） 是否是回文。）

（2）递推公式

当si与sj不相等，dpij一定是false。

当si与sj相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况

情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串

情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串

情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时si与sj已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dpi + 1j - 1是否为true。

if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
        result++;
        dp[i][j] = true;
    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
        result++;
        dp[i][j] = true;
    }
}

（3）初始化

全部初始化为false

（4）遍历顺序

首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dpi + 1j - 1是否为true，在对dpij进行赋值true的。dpi + 1j - 1 在 dpij的左下角

所以一定要从下到上，从左到右遍历 ，这样保证dpi + 1j - 1都是经过计算的。

（5）举例

举例，输入："aaa"，dpij状态如下：注意因为dpij的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dpij的时候一定是只填充右上半部分。

代码如下：

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
        int result = 0;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {  // 注意遍历顺序
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    }
                }
            }
        }
        return result;
    }
};