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摘要
《最优账单平衡》这道题，很多人第一次看到都会有点懵：
不就是转账吗，为什么会是困难题？
真正难的地方不在"算钱"，而在于 如何用最少的转账次数，把一堆复杂的债务关系彻底清零 。
这类问题在现实中非常常见，比如：
- 多人 AA 聚餐之后的结算
- 团队项目里垫资、报销、代付
- 公司内部多部门费用对冲
题目本身不复杂，但如果直接模拟转账，很容易陷入组合爆炸。
正确的解法核心只有一句话：
先把问题化简，再用回溯暴力，但要暴力得聪明。
描述
题目给了我们一组交易 transactions，每一条形如：
[from, to, amount]表示：
from 给 to 转了 amount 的钱。
最终目标是：
在不改变每个人最终盈亏结果的前提下，用最少的转账次数，把所有人的账清干净。
有几个关键约束需要先想清楚：
- 不关心原始交易顺序
- 只关心"每个人最终是多收了钱，还是多付了钱"
- 转账次数越少越好，金额大小无所谓
换句话说，我们不是要"复现原交易"，而是要 重排债务关系。
题解答案
整体思路可以分成两步。
计算每个人的净资产
我们先不管怎么转账，只统计结果：
- 转出的钱：记为负数
- 转入的钱：记为正数
最后每个人只会剩下一个数：
- 正数：别人欠他钱
- 负数：他欠别人钱
- 0：已经结清，可以直接忽略
这一步非常关键，它能把问题规模大幅缩小。
在净资产数组上做最少匹配
接下来就变成了一个更抽象的问题：
给你一组正负数，正数和负数总和为 0，
用最少的"配对抵消"次数，让所有数都变成 0。
这个问题非常适合用 回溯 + 剪枝 来解决：
- 每次找一个还没清零的债务
- 尝试和后面符号相反的债务进行抵消
- 把这一步算作一次转账
- 递归处理剩余部分
- 取最小次数
题解代码分析
下面是完整 Swift 实现，逻辑清晰、可以直接运行。
swift
class Solution {
func minTransfers(_ transactions: [[Int]]) -> Int {
var balance = [Int: Int]()
// 统计每个人的净资产
for t in transactions {
let from = t[0]
let to = t[1]
let amount = t[2]
balance[from, default: 0] -= amount
balance[to, default: 0] += amount
}
// 只保留不为 0 的债务
var debts = balance.values.filter { $0 != 0 }
return dfs(&debts, 0)
}
private func dfs(_ debts: inout [Int], _ start: Int) -> Int {
// 跳过已经结清的
while start < debts.count && debts[start] == 0 {
return dfs(&debts, start + 1)
}
if start == debts.count {
return 0
}
var minCount = Int.max
for i in (start + 1)..<debts.count {
// 只尝试符号相反的进行抵消
if debts[start] * debts[i] < 0 {
let original = debts[i]
debts[i] += debts[start]
minCount = min(minCount, 1 + dfs(&debts, start + 1))
debts[i] = original
// 剪枝：如果正好抵消，没必要再试别的
if original + debts[start] == 0 {
break
}
}
}
return minCount
}
}核心逻辑拆解一下
为什么可以忽略已经为 0 的人？
因为他们已经"账平了"，不需要再参与任何转账。
这一步对性能提升非常明显。
为什么只找符号相反的？
- 一个是欠钱（负数）
- 一个是收钱（正数）
只有这样才能发生真实有效的"抵消"。
两个正数或者两个负数，永远解决不了问题。
剪枝为什么成立？
swift
if original + debts[start] == 0 {
break
}这表示：
当前这次配对已经是完美抵消，再继续尝试别的组合，只会增加转账次数，不可能更优。
示例测试及结果
示例 1
swift
let solution = Solution()
let transactions = [
[0, 1, 10],
[2, 0, 5]
]
print(solution.minTransfers(transactions))分析过程
- 0：-10 + 5 = -5
- 1：+10
- 2：-5
债务数组变成：
[-5, 10, -5]最优方案：
- 1 给 0 转 5
- 1 给 2 转 5
总共 2 次转账
输出：
2示例 2
swift
let transactions = [
[0, 1, 10],
[1, 0, 10]
]
print(solution.minTransfers(transactions))两笔交易完全抵消，所有人最终余额都是 0。
输出：
0时间复杂度
这道题本质上是一个 NP 难问题。
- 最坏情况下，需要尝试所有债务组合
- 回溯的时间复杂度接近
O(n!)
但题目限制了参与人数，一般不会超过 12 个非零债务节点。
再加上大量剪枝，实际运行非常快。
空间复杂度
主要消耗在：
debts数组- 递归调用栈
空间复杂度为：
O(n)总结
《最优账单平衡》这道题的价值不在于"写代码有多复杂"，而在于 建模能力：
- 把原始交易压缩成"净资产"
- 把业务问题抽象成"正负数抵消"
- 用回溯解决"最少操作次数"问题