策略梯度(Policy Gradient)算法是强化学习中的一种重要方法,通过优化策略以获得最大回报。本文将详细介绍策略梯度算法的基本原理,推导其数学公式,并提供具体的例子来指导其实现。
策略梯度算法的基本概念
在强化学习中,智能体通过与环境交互来学习一种策略(policy),该策略定义了在每个状态下采取哪种行动的概率分布。策略可以是确定性的或随机的。在策略梯度方法中,策略通常表示为参数化的概率分布,即 ,其中 是策略的参数, 是状态, 是行动。
目标是找到最佳的策略参数 \\theta 使得智能体在环境中获得的期望回报最大。为此,我们需要定义一个目标函数,表示期望回报。然后,通过梯度上升法(或下降法)来优化该目标函数。
策略梯度的数学推导
假设我们的目标函数 J(\\theta) 定义为:
其中 表示一个完整的轨迹(从初始状态到终止状态的状态-动作序列), 是该轨迹的总回报。根据策略的定义,我们有:
因此,目标函数可以重写为:
为了最大化,我们需要计算其梯度 :
使用概率分布的梯度性质,我们有:
因此,梯度可以表示为:
这个公式被称为策略梯度定理。为了估计这个期望值,我们通常使用蒙特卡洛方法,从策略 中采样多个轨迹 ,然后计算平均值。
策略梯度算法的实现
我们以一个简单的环境为例,展示如何实现策略梯度算法。假设我们有一个离散动作空间的环境,我们使用一个神经网络来参数化策略。
步骤 1:环境设置
首先,设置环境和参数:
python
import gym
import numpy as np
import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
env = gym.make('CartPole-v1')
n_actions = env.action_space.n
state_dim = env.observation_space.shape[0]
步骤 2:策略网络定义
定义一个简单的策略网络:
python
class PolicyNetwork(nn.Module):
def __init__(self, state_dim, n_actions):
super(PolicyNetwork, self).__init__()
self.fc1 = nn.Linear(state_dim, 128)
self.fc2 = nn.Linear(128, n_actions)
def forward(self, x):
x = torch.relu(self.fc1(x))
x = self.fc2(x)
return torch.softmax(x, dim=-1)
policy = PolicyNetwork(state_dim, n_actions)
optimizer = optim.Adam(policy.parameters(), lr=0.01)
步骤 3:采样轨迹
编写函数来从策略中采样轨迹:
python
def sample_trajectory(env, policy, max_steps=1000):
state = env.reset()
states, actions, rewards = [], [], []
for _ in range(max_steps):
state = torch.FloatTensor(state).unsqueeze(0)
probs = policy(state)
action = np.random.choice(n_actions, p=probs.detach().numpy()[0])
next_state, reward, done, _ = env.step(action)
states.append(state)
actions.append(action)
rewards.append(reward)
if done:
break
state = next_state
return states, actions, rewards
步骤 4:计算回报和梯度
计算每个状态的回报,并使用策略梯度定理更新策略:
python
def compute_returns(rewards, gamma=0.99):
returns = []
G = 0
for r in reversed(rewards):
G = r + gamma * G
returns.insert(0, G)
return returns
def update_policy(policy, optimizer, states, actions, returns):
returns = torch.FloatTensor(returns)
loss = 0
for state, action, G in zip(states, actions, returns):
state = state.squeeze(0)
probs = policy(state)
log_prob = torch.log(probs[action])
loss += -log_prob * G
optimizer.zero_grad()
loss.backward()
optimizer.step()
步骤 5:训练策略
将上述步骤组合在一起,训练策略网络:
python
num_episodes = 1000
for episode in range(num_episodes):
states, actions, rewards = sample_trajectory(env, policy)
returns = compute_returns(rewards)
update_policy(policy, optimizer, states, actions, returns)
if episode % 100 == 0:
print(f"Episode {episode}, total reward: {sum(rewards)}")
总结
通过以上步骤,我们实现了一个基本的策略梯度算法。策略梯度方法通过直接优化策略来最大化智能体的期望回报,具有理论上的简洁性和实用性。本文详细推导了策略梯度的数学公式,并提供了具体的实现步骤,希望能够帮助读者更好地理解和应用这一重要的强化学习算法。