TF-IDF
TF-IDF是TF（词频，Term Frequency）和IDF（逆文档频率，Inverse Document Frequency）的乘积。我们先来看他们分别是怎么计算的：
TF的计算有多种方式，常见的是
除以文章总词数是为了标准化
IDF为:
如果一个词越常见，那么分母就越大，逆文档频率就越小越接近0。分母之所以要加1，是为了避免分母为0（即所有文档都不包含该词）。log表示对得到的值取对数，求log是为了归一化，保证IDF不会过大。
所以TF-IDF 的计算就是：
以下有几个细节点的理解：
- IDF表征的是区分度、稀缺性，用以评估一个单词在语料库中的重要程度，一个词在少数几篇文档中出现的次数越多，它的IDF值越高，如果这个词在大多数文档中都出现了，这个值就不大了。从公式也可以看出来，由于log函数是单增函数，当文档总数固定时，包含该词的文档数越少，IDF值越大，稀缺性越强。背后的思想是某个词或者短语在一篇文章中出现的频率高（TF大），并且在其他文档中很少出现（IDF也大），则认为该词或短语具备很好的类别区分能力（TF-IDF就越大）。
- TF刻画了词语w对某篇文档的重要性，IDF刻画了w对整个文档集的重要性。TF与IDF没有必然联系，TF低并不一定伴随着IDF高。实际上我们可以看出来，IDF其实是给TF加了一个权重。
优点与不足
TF-IDF算法的优点是简单快速，结果比较符合实际情况。缺点是，单纯以"词频"衡量一个词的重要性，不够全面，有时重要的词可能出现次数并不多。这会导致TF-IDF法的精度并不是很高。而且，这种算法无法体现词的位置信息，出现位置靠前的词与出现位置靠后的词，都被视为重要性相同，这是不正确的。（常用的一种解决方法是，对全文的第一段和每一段的第一句话，给予较大的权重。）同时TF-IDF没有考虑词频上限的问题。
BM25
因为在TF-IDF 中去停用词被认为是一种标准实践，故TF-IDF没有考虑词频上限的问题（因为高频停用词已经被移除了）。而在某些频率较高的停用词不被去除的情况下，停用词的权重会被无意义地放大。比如文中提到的：
Elasticsearch 的
standard标准分析器（string字段默认使用）不会移除停用词，因为尽管这些词的重要性很低，但也不是毫无用处。这导致：在一个相当长的文档中，像the和and这样词出现的数量会高得离谱，以致它们的权重被人为放大。
这就是所谓的词频饱和度，TF-IDF的词频饱和度是线性的，而BM25的词频饱和度是非线性的：
公式:
C = tf = ，k > 0，
，d为文档的长度，
是文档的平均长度
BM25和tfidf的计算结果很相似，唯一的区别在于中多了一项，这一项是用来对tf的结果进行的一种变换。把中的b看成0，那么此时项的结果为
，通过设置一个k，就能够保证其最大值为1，达到限制tf过大的目的。
即：
上下同除tf
k不变的情况下，上式随着tf的增大而增大，上限为k + 1，但是增加的程度会变小，如下图所示。在一个句子中，某个词重要程度应该是随着词语的数量逐渐衰减的，所以中间项对词频进行了一定罚，随着次数的增加，影响程度的增加会越来越小。通过设置k值，能够保证其最大值为k + 1，k往往取值1.2。
其变化如下图（无论k为多少，中间项的变化程度会随着次数的增加，越来越小）：
的作用是用来对文本的长度进行归一化。
例如在考虑整个句子的 tdidf 的时候，如果句子的长度太短，那么计算的总的 tdidf 的值是要比长句子的 tdidf 的值要低的。所以可以考虑对句子的长度进行归一化处理。
可以看到，当句子的长度越短， 的值是越小，作为分母的位置，会让整个第二项越大，从而达到提高短文本句子的 BM25 的值的效果。当 b 的值为 0，可以禁用归一化，b 往往取值 0.75。
