图论---哈密顿回路的实现

开始编程前分析设计思路和程序的整体的框架，以及作为数学问题的性质：

设计思路：

利用邻接表存储图的结构，存储对应顶点和边
作为无向图存边时正反都进行存储便于寻找路径
对顶点的访问和路径走向进行记录
使用回溯法＋深度优先对回路进行探索
对每一条边进行编号，根据路径走向输出结果

程序流程图：

数学性质：

图中的每个顶点恰好被访问一次，并且最后回到起始顶点，形成一个闭合的环
另一种表达是一条通过图中所有顶点且仅通过一次的回路，不需要所有边都必须被使用

时间复杂度O(n!)

在寻找哈密顿回路的过程中，使用深度优先搜索的方法。会遍历所有可能的路径，直到找到一个哈密顿回路或者遍历完所有的路径。在完全图中，可能的路径数量是n的阶乘（n!），因为每个顶点都可以是路径的起点。

源代码：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <utility>
#include <unordered_map>//使用哈希表
using namespace std;
//定义需要的数组及变量
const int MAXN = 100;//最大顶点数
vector<pair<int, int>> graph[MAXN];//邻接表表示图，存储顶点对和边的编号
bool visited[MAXN];//记录顶点是否被访问
int path[MAXN];//存储回路路径
int edgeIndex[MAXN * MAXN];//存储每条边的编号
int n, m;//顶点数和边数
int pathLen;//路径长度
int edgeCount;//边的计数，用于生成编号

//为每条边生成一个唯一的编号
int EdgeIndex(int u,int v){
    for (const auto& edge : graph[u]){
        if (edge.first == v){
            return edge.second;
        }
    }
    return -1;//边不存在的情况
}
//使用深度优先寻找回路
bool DFS(int curr, int prev){
    visited[curr] = true;//标记当前顶点为已访问
    path[pathLen++] = curr;//将当前顶点加入路径

    //如果已经访问了所有顶点，即找到了回路
    if (pathLen == n){
        return true;
    }
    //尝试从当前顶点出发访问其他未访问的顶点
    for (const auto& edge : graph[curr]){
        int next = edge.first;
        int edgeId = edge.second;
        if (!visited[next] && (next != prev || pathLen == 1)){ 
            //避免陷入循环，除第一个顶点
            if (DFS(next, curr)) {
                return true;
            }
        }
    }
    
    visited[curr] = false;//回溯上一步撤销选择
    pathLen--;//路径回退
    return false;
}
//判断是否存在回路
bool Ham(){
    fill(visited, visited + n, false);//初始化访问标记和路径长度
    pathLen = 0;//初始路径长度
    //从每个顶点开始尝试寻找哈密顿回路
    for (int start = 0; start < n; ++start) {
        if (DFS(start, -1)) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}
//按要求输出路径
void Path(){
    cout << "YES" << endl;//按照题目要求先输出YES
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int u = path[i];//找到当前顶点与前一个顶点之间的边的编号
        int v = path[(i + 1) % n];
        int edgeId = EdgeIndex(u, v);
        if (edgeId == -1) {
            cout << "Error" << endl;
            exit(1);//如果边不存在，则输出错误信息并退出程序
        }
        edgeId++;
        cout << (u < v ? "": "-") << edgeId << " ";//输出边的编号和方向
    }
    cout << endl;
}
int main(){
    cin >> n >> m;//输入顶点数和边数

    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;//输入边的两个顶点
        u--;
        v--;//转换为从0开始的索引
        //添加边到邻接表，并存储边的编号
        graph[u].push_back({v, edgeCount});
        graph[v].push_back({u, edgeCount});//作为无向图，两边都添加
        edgeCount++;//增加边的计数
    }
    //根据寻找结果进行输出
    if (Ham()) {
        Path();//输出回路路径
    } else {
        cout << "NO" << endl;//若无回路则输出NO
    }
    system("pause");
    return 0;
}

测试用例：（n不小于15，m不小于30；n为顶点数、m为边数）

测试数据1：测试数据2：

16 32 16 31

1 2 1 2

1 3 8 9

1 16 1 3

2 16 2 2

8 9 9 10

2 3 2 3

2 4 3 4

3 4 3 5

3 5 4 5

4 5 4 6

4 6 9 11

5 6 10 11

5 7 10 12

6 7 8 10

6 8 11 12

7 8 11 13

7 9 5 6

8 10 6 7

9 10 5 7

9 11 12 13

10 12 12 14

10 11 13 14

11 12 6 8

11 13 7 8

12 13 7 9

12 14 1 16

13 14 1 15

13 15 2 16

14 16 15 16

14 15 14 15

15 16 13 15

1 15
输出结果：

数据测试结果1：

YES

1 4 -29 -26 -21 -18 -15 -11 -8 9 13 17 20 24 28 -32

数据测试结果2：

YES

1 6 7 9 17 18 24 2 5 12 15 20 22 30 29 -26