浅说平面dp（下）

最大加权矩形

我们言归正传，首先我们可以想到，这道题其实是要求一个和，那么我们不难想到可以用前缀和来解决，但是这样的时间复杂度过于高了，那么我们怎么办呢？其实我们这里可以用一点最大字段和的知识。

最大字段和

给定一个长为 n 的序列，任意选择其中连续的 x（0≤𝑥≤n）项所确定的一段更短的连续序列叫作一个子段。一个子段的得分为其每个元素之和，请求出原序列的最大子段和。

我们正常来说应该是用枚举的思想，但是这样的时间复杂度为O(n²),如果n稍微大一点就过不了了，那么我们还是考虑动态规划。

首先我们可以想到 d p $i$ dp $i$ dp $i$ 可能与 d p $i - 1$ dp $i-1$ dp $i-1$ 和 a $i$ a $i$ a $i$ 有关，那么我们就可以想到这个关系式 d p $i$ = m a x ( d p $i - 1$ + a $i$ , a $i$ ) dp $i$ =max(dp $i-1$ +a $i$ ,a $i$ ) dp $i$ =max(dp $i-1$ +a $i$ ,a $i$ )

那么我们就可以写出以下代码

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a[1000000],dp[1000000],n,maxn=0;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		dp[i]=0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dp[i]=max(dp[i-1]+a[i],a[i]);
		if(dp[i]>maxn){
			maxn=dp[i];
		}
	}
	cout<<maxn;
	return 0;
}

这样我们就可以在O(n)的时间复杂度里求完答案

最大子矩阵和和最大字段和的关联

讲了这么多，我们该怎么用呢？

其实我们可以枚举一个上下边界，然后中间就先用前缀和解出中间的值再用最大字段和的方法来解决，这样的时间复杂度就为O(n³），显然可以通过

那么我们就可以得到以下转换代码
d p $k$ = m a x ( d p $k - 1$ + ( t o t $j$ $k$ − t o t $i - 1$ $k$ ) , ( t o t $j$ $k$ − t o t $i - 1$ $k$ ) ) ; dp $k$ =max(dp $k-1$ +(tot $j$ $k$ -tot $i-1$ $k$ ),(tot $j$ $k$ -tot $i-1$ $k$ )); dp $k$ =max(dp $k-1$ +(tot $j$ $k$ −tot $i-1$ $k$ ),(tot $j$ $k$ −tot $i-1$ $k$ ));

那么我们现在就好处理了

代码如下

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int mp[310][310],tot[310][310];
int dp[310],maxn=INT_MIN;
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		for (int j=1;j<=n;j++){
			cin>>mp[i][j];
			tot[i][j]=tot[i-1][j]+mp[i][j];
		}
	}

	for (int i=1;i<=n;i++){
		for (int j=i;j<=n;j++){
			for (int k=1;k<=n;k++){
				dp[k]=tot[j][k]-tot[i-1][k];
			}
			for (int k=1;k<=n;k++){
				dp[k]=max(dp[k-1]+(tot[j][k]-tot[i-1][k]),(tot[j][k]-tot[i-1][k]));
				maxn=max(dp[k],maxn);
			}
		}
	}
	cout<<maxn;
	return 0;
}

最大全1子矩阵

给定一个01矩阵，求其最大的全1子矩阵。

第一行n,m。后面n行每行m个数描述这个矩阵

最大子矩阵的面积

输入数据 1

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输出数据 1

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Limitation

对于100%的数据，1<=n,m<=300

思路

这道题其实和上一道题其实差不多还是正常的进行判断，然后在进行dp的时候只需要进行判断，看看是不是都是1就可以了

代码如下

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int mp[310][310],tot[310][310];
int dp[310],maxn=0;
int main(){
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		for (int j=1;j<=m;j++){
			cin>>mp[i][j];
			tot[i][j]=tot[i-1][j]+mp[i][j];
		}
	}
	for (int i=0;i<n;i++){//上边界 
		for (int j=i+1;j<=n;j++){//下边界 
			memset(dp,0,sizeof(dp));
			for (int k=1;k<=m;k++){
				if (tot[j][k]-tot[i][k]==j-i){
					dp[k]=dp[k-1]+(tot[j][k]-tot[i][k]);
					maxn=max(maxn,dp[k]);
				}
			} 
		}
	}
	cout<<maxn;
	return 0;
}

穿衣服

Description

wjq是一名来自520宿舍的漂亮妹子，她喜欢穿的很性感。 wjq刚刚从床上起来，喜欢性感的她要去她寝室的不同位置去拿衣服，可是她的舍友把她的衣服丢的到处都是，黑丝，白丝，制服等衣服散在不同的位置上，wjq只好挨个去拿。 520宿舍可以看作是一个n行m列的矩形，wjq在(0,0)这个格子（位于宿舍的左上角），寝室的门在(n-1,m-1)这个格子。每次wkc可以向相邻的格子走一步，走到某个格子时，她会穿起这个格子的衣服。wjc由于没有穿鞋，而且用她的粉粉嫩嫩的脚走起来非常的不舒服，然而鞋又在寝室门口，所以她想走一条最短路到教室的门口，但是性感度太少了她自己又不舒服，所以她决定走一条性感程度最高的最短路线(即保证路径最短的前提下性感程度最高)，你能帮帮她吗？

Input

第一行三个整数n,m,k。接下来k行，每行三个整数a,b,c，表示在(a,b)这个格子的衣服的性感程度为c。

Output

输出1个整数，表示wjq的最大性感程度。

Samples

输入数据 1

2 2 2

0 0 1

1 1 1

输出数据 1

n,m>=10*9,k>=8000。

思路

如果正常来说，我们肯定使用二维dp来做他，但是可以看到n和m的值非常的大，空间肯定要爆，同时这道题我们又不能用滚动数组来压缩，所以我们只能采取其他的思路

首先我们来想想最短路的问题，不难想到，只要wjq不往左或上走，就一定是最短路。

然后我们再来想想dp的问题，首先我们知道，当前的这一个点只能从这个点的左上方的区域转移而来，那么我们只需要对每一个点进行遍历。然后去找在它左上方的点就可以了。

但是我们又会想到，这样写出来的dp可能有一些值没有被算到，所以我们就需要先对每一个点进行排序，按照从左上方到右下方的顺序来排序。

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct f{
	int x,y;
	int num;
}a[8000];

bool cmp(f a1,f a2){
	if (a1.y!=a2.y)return a1.y<a2.y;
	else return a1.x<a2.x;
}
int dp[8000],maxn=INT_MIN;
int main(){
	int n,m,k;
	cin>>n>>m>>k;
	for (int i=1;i<=k;i++){
		cin>>a[i].x>>a[i].y>>a[i].num;
	}
	sort(a+1,a+1+k,cmp);
	for (int i=1;i<=k;i++){//当前转移的值 
		dp[i]=a[i].num;
		for (int j=1;j<=k;j++){
			if (a[j].x<=a[i].x&&j!=i)dp[i]=max(dp[i],dp[j]+a[i].num);
		}
		maxn=max(maxn,dp[i]);
	}
	cout<<maxn; 
	return 0;
}