文章目录
类别区分
变量与概念
| 决策边 | 置信度阈值threshold | 过拟合 | 欠拟合 |
|---|---|---|---|
| 正则化 | 高偏差 | lambda（λ） | |
线性回归受个别极端值影响，不适合用于分类
逻辑回归
-
输出值介于（0,1）
-
解决输出标签，判断真值
-
用于回归和分类
Sigmoid函数
图注：z越大，函数g(z)值越趋近于1；z为负数，越小则函数g(z)值越趋近于零。
公式
f w ⃗ , b = g ( w ⃗ ∗ x ⃗ + b ) = 1 1 + e − ( w ⃗ ∗ x ⃗ + b ) f_{\vec{w},b}=g(\vec{w}*\vec{x}+b)=\dfrac{1}{1+e^{-(\vec{w}*\vec{x}+b)}} fw ,b=g(w ∗x +b)=1+e−(w ∗x +b)1
P ( y = 0 ) + P ( y = 1 ) = 1 P(y=0)+P(y=1)=1 P(y=0)+P(y=1)=1
一般写法： f w ⃗ , b ( x ⃗ ) = P ( y = 1 ∣ x ⃗ ; w ⃗ , b ⃗ ) f_{\vec{w},b}(\vec x)=P(y=1|\vec x;\vec w,\vec b) fw ,b(x )=P(y=1∣x ;w ,b )
含义：w,b为影响因子的时候，选中x行向量时，y=1的概率是多少。
决策边
逻辑损失函数和代价函数
L ( f w ⃗ , b ( x ⃗ ( i ) ) , y ( i ) ) = − y ( i ) l o g ( f w ⃗ , b ( x ( i ) ) ) − ( 1 − y ( i ) ) l o g ( 1 − f w ⃗ , b ( x ⃗ ( i ) ) ) L(f_{\vec w,b}(\vec x^{(i)}),y^{(i)})=-y^{(i)}log(f_{\vec w,b}(x^{(i)}))-(1-y^{(i)})log(1-f_{\vec w,b}(\vec x^{(i)})) L(fw ,b(x (i)),y(i))=−y(i)log(fw ,b(x(i)))−(1−y(i))log(1−fw ,b(x (i)))
分取值写，则如下图：
负的log函数取零到一的部分。如上图。
平方误差代价函数不适用原因：会出现多个局部最小值。
简化的代价函数为 J ( w ⃗ , b ) = − 1 m ∑ i = 1 m [ L ( f w ⃗ , b ( x ⃗ ( i ) ) , y ( i ) ] J(\vec w, b)=-\dfrac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m[L(f_{\vec w,b}(\vec x^{(i)}),y^{(i)}] J(w ,b)=−m1i=1∑m[L(fw ,b(x (i)),y(i)]
它由极大似然估计法推出。
凸函数原因：凸优化学习
逻辑回归的梯度下降
重复地更新w和b，令其值为旧值-（学习率 α ∗ α * α∗ 偏导数项）
泛化
若一个模型能从从未见过的数据中做出准确的预测，我们说它能够从训练集泛化到测试集。我们的目标是构建一个泛化精度尽可能高的模型
一个模型不能太过特殊以至于只能用于一些数据，也不能过于宽泛难以拟合数据。
过拟合的解决方案
- 收集更多数据，但数据收集能力可能有上限。
- 观察是否可以用更少特征，应选用最相关特征，但有些被忽略的特征可能实际上有用。有些算法可以自动选择合适的特征。
- 正则化，w~1~到w~n~可以缩小以适应训练集，不推荐缩小b
正则化
一种惩罚，如果某一个w的增大使代价函数J增大，那它实际应该减小。
J ( w ⃗ , b ) = 1 2 m [ ∑ i = 1 m ( f w ⃗ , b ( x ⃗ ( i ) ) − y ( i ) ) 2 + λ 2 m ∑ j = 1 n w j 2 + λ 2 m b 2 ] ( λ > 0 ) J(\vec w, b)=\dfrac{1}{2m}[\sum\limits_{i=1}^m(f_{\vec w, b}(\vec x^{(i)})-y^{(i)})^2+\dfrac{λ}{2m}\sum\limits_{j=1}^nw_j^2+\dfrac{λ}{2m}b^2](λ>0) J(w ,b)=2m1[i=1∑m(fw ,b(x (i))−y(i))2+2mλj=1∑nwj2+2mλb2](λ>0)
选择合适的λ以避免过拟合和欠拟合。
